АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Операции и их свойства

Читайте также:
  1. F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
  2. I. Психологические операции в современной войне.
  3. I. Размеры и тинкториальные свойства волокон
  4. II. Операции над векторами, заданными их разложениями по ортам (заданными координатами)
  5. II. Свойства векторного произведения
  6. III. Психические свойства личности – типичные для данного человека особенности его психики, особенности реализации его психических процессов.
  7. V.Операции банка
  8. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  9. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  10. V2: Электрические и магнитные свойства вещества
  11. Аденовирусы, морфология, культуральные, биологические свойства, серологическая классификация. Механизмы патогенеза, лабораторная диагностика аденовирусных инфекций.
  12. Аксиомы ординалистского подхода. Функция полезности и кривые безразличия потребителя. Свойства кривых безразличия. Предельная норма замещения

Будем предполагать, что рассматриваемые далее множества A, B, C, …, Ai, I, над которыми выполняются операции, являются подмножествами некоторого множества U, которое называется универсумом. Ниже через {x: P(x)} будет обозначать множество элементов xÎU, удовлетворяющих условию P(x).

Определим операции с помощью следующих формул:

· A Ç B= { x: xÎA & xÎB }называется пересечением множеств A и B,

· A È B= { x: xÎA Ú xÎB } – объединением,

· A\B= { x: xÎA & ~(xÎB) } – теоретико-множественной разностью множеств,

· ADB= A\B È B\A – симметрической разностью,

· =U\A – дополнением множества A,

· Ai = { x: ($ i Î I) x Î Ai } -- объединением семейства множеств,

· пересечение семейства множеств Ai = { x:(" i Î I) xÎAi },

Через |A| будем обозначать количество элементов конечного множества.

Предложение. Пусть U – множество. Тогда для любых его подмножеств A, B и C верны равенства:

1. A Ç B = B Ç A, A È B = B È A, (коммутативность).

2. A Ç(B Ç C) = (A Ç B)Ç C, A È(B È C)=(A È B)È C, (ассоциативность).

3. A Ç(A È B) = A È(A Ç B)= A (закон поглощения).

4. A Ç(B È C) = (A Ç B)È(A Ç C),

A È (B È C) = (A È B)Ç(A È C) (дистрибутивность).

5. , .

6. A Ç A = A, A È A = A.

7. A È U = U, A ÇÆ=Æ.

8. A ÈÆ= A, A Ç U = A.

9. .

10. , (законы де Моргана).

Доказательство. Докажем, например, первое из свойств дистрибутивности (равенство 4). Для этой цели нужно доказать, что левая часть равенства содержится в правой, и наоборот. Пусть xÎ AÇ(BÈC). Тогда xÎA и xÎ BÈC. И значит (xÎA и xÎ B) или (xÎA и xÎC). Следовательно xÎ(AÇB)È(AÇC).

Эти свойства иллюстрируются с помощью показанных на рис.1.1 диаграмм Эйлера-Венна. Точки прямоугольников соответствуют элементам универсума U. Точки кругов – подмножествам A, B, C. Слева элементы множеств B и C заштрихованы вертикальными линиями. Отсюда область, заштрихованная вертикальными линиями будет соответствовать объединению BÈC. Элементы из A заштрихованы горизонтальными линиями. Следовательно, область AÇ(BÈC) будет заштрихована в клетку. Справа область B заштрихована косыми линиями, а область A – горизонтальными. Область AÇB будет заштрихована косыми и вертикальными. Аналогичное верно для области AÇC. Из рис.1.1 видно, что область, показанная слева и заштрихованная горизонтальными и вертикальными линиями равна области, показанной справа, заштрихованной косыми и горизонтальными линиями. Значит, соответствующие множества AÇ(BÈC) и (AÇB)È(AÇC) равны.

 

       
   

 

 


Рис. 1.1. Диаграммы Эйлера-Венна

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)