Лінійні неоднорідні рівняння 2-го порядку

Лінійне неоднорідне рівняння із сталими коефіцієнтами має вигляд:

а₀у⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n–1) + a₂y^(n–2) +...+ a_ny = f(x) (4),

де а₀, а₁, а₂,..., a_n - сталі, а f(x) – деяка неперервна функція (вона може бути сталою). Рівняння

а₀у⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n–1) + a₂y^(n–2) +...+ a_ny = 0 (5)

у цьому випадку називається відповідним лінійним однорідним рівнянням.

Загальний розв¢язок рівняння (4) знаходять у вигляді:

У = у _одн + у _част. (6)

де у _одн = С₁ у ₁ + С₂ у ₂ +...+ С _ny_n – загальний розв¢язок відповідного однорідного рівняння (5), а у _част. – деякий частинний розв¢язок рівняння (4).

Якщо права частина рівняння (4) має певний вигляд, то частинний розв¢язок у _част. можна знаходити не вдаючись до інтегрування.

Розглянемо ці випадки, користуючись таблицею:

Таблиця 2

Зауваження 1. Якщо права частина рівняння (4) містить лише один доданок із синусом або з косинусом, то частинний розв¢язок у _част. все одно повинен містити обидва доданки.

Зауваження 2. Якщо права частина неоднорідного диференціального рівняння представляє суму двох функцій f₁(x) і f₂(x) спеціального вигляду, то частинний розв¢язок у _част. шукають у вигляді

у _част. = (у ₁)_част. + (у ₂)_част.,

де у _{1 част.} – частинний розв¢язок, що відповідає функції f ₁ (x), а у _2част. – частинний розв¢язок, що відповідає f ₂ (x).

П р и к л а д 13. Розв¢язати рівняння:

у¢¢¢ +у¢¢ = 12 х ².

Р о з в¢ я з о к. Знаходимо загальний розв¢язок у _одн відповідно однорідного рівняння.

Характеристичне рівняння має вигляд:

k ³ + k ²= 0, його корені k ₁ = – 1, k ₂ = k ₃ = 0,

отже,

у _одн = С₁ + С₂ х + С₃е^–х

Визначимо вигляд частинного розв¢язку у _част.^. Так як 0 – двократний корінь характеристичного рівняння l = 2 і враховуючи, що права частина диференціального рівняння є многочлен другого степеня, то частинний розв¢язок у _част. будемо шукати у такому вигляді:

у _част. = (А х ² + В х + С) х ² = Ах⁴ + В х ³ + С х ².

Для знаходження невизначених коефіцієнтів А, В, С шукаємо похідні:

у ¢_част. = 4А х ³ + 3В х ² + 2С х,

у ¢¢_част. = 12А х ² + 6Вх + 2С,

у ¢¢¢_част. = 24А х + 6В

і підставляємо знайдені похідні в дане диференціальне рівняння:

24Ах + 6В + 12Ах² + 6Вх + 2С º 12 х²

Отже, у _част. = х ⁴ –4 х ³ + 12 х ², а загальний розв¢язок даного неоднорідного рівняння буде

у = у _одн + у _част = С₁ + С₂ х + С₃е^–х + х ⁴ –4 х ³ + 12 х ².

П р и к л а д 14. Проінтегрувати рівняння:

у ¢¢ –5 у ¢ +6 у = 13 sin 3 х.

Р о з в¢ я з о к. Коренями характеристичного рівняння k ² – 5 k + 6 = 0 будуть k ₁ = 2, k ₃ = 3, отже,

у _одн = С₁е^2х + С₂е^3х

Оскільки число bі = 3і не є коренем характеристичного рівняння, тому частинний розв¢язок неоднорідного диференціального рівняння у _част будемо шукати у вигляді:

у _част = А sin 3x + B cos 3x

Знайдемо коефіцієнти А і В. Маємо:

у ¢_част = 3А cos 3x – 3B sin 3x

у ¢¢_част = –9А sin 3x –9B cos 3x,

Підставляючи у ¢_част і у ¢¢_част у диференціальне рівняння, одержимо:

–9А sin 3x – 9B cos 3x – 15А cos 3x + 15B sin 3x + 6А sin 3x + 6В cos 3x º13 sin 3x.

П р и к л а д 15. Розв¢язати рівняння:

у ¢¢+4 у = 3 sin 2 х.

Р о з в¢ я з о к.

Характеристичне рівняння k ² +4 = 0 має уявні корені k _1,2 = ± 2і, тому

у_одн = С₁ cos 2х + С₂3 sin 2х.

Оскільки 2і є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв¢язок будемо шукати у вигляді:

у_част = (А cos 2x + B sin 2x)х.

Знаходимо похідні у ¢_част і у ¢¢_част:

у ¢_част = (–2А sin 2x + 2B cos 2x)х + А cos 2x + В sin 2x,

у ¢¢_част = (–4А cos 2x – 4В sin 2x)х – 2А sin 2x + 2B cos 2x – 2А sin 2x + 2B cos 2x =

= (–4А cos 2x – 4В sin 2x)х – 4А sin 2x + 4B cos 2x.

Підставляючи у ¢_част і у ¢¢_част у дане диференціальне рівняння, одержимо:

(–4А cos 2x – 4В sin 2x)х – 4А sin 2x + 4B cos 2x + (2A cos 2 x + 4В sin 2x)х º 3 sin 2x,

або – 4А sin 2x + 4B cos 2x = 3 sin 2x

Отже, у _част. = а загальний розв¢язок рівняння буде:

У = С₁ cos 2x + С₂ sin 2x .

П р и к л а д 16. Розв¢язати рівняння: у ¢¢–2 у ¢ + у = sinх + е^–х.

Р о з в¢ я з о к. Корені характеристичного рівняння k ² – 2 k + 1= 0 будуть k ₁ = k ₂ = 1. Отже, загальний розв¢язок однорідного рівняння буде

у _одн = С₁е^х + С₂хе^х

Так як права частина рівняння f(x) складається із суми двох функцій sin xі е^–х, то частинний розв¢язок у_част. будемо шукати у вигляді:

у _част. = у ₁ + у ₂,

де у ₁ – частинний розв¢язок рівняння у ¢¢–2 у ¢ + у = sin х,

у ₂ – частинний розв¢язок рівняння у ¢¢–2 у ¢ + у = е^–х.

Знайдемо у ₁:

у ¢¢–2 у ¢ + у = sin х (*)

Число bі = i не є коренем характеристичного рівняння, тому частинний розв¢язок у₁ будемо шукати у такому вигляді:

у ₁ = A sin x + B cos x

Знаходимо похідні у¢₁ і у¢¢₁:

у¢₁ = A cos x – B sin x, у¢¢₁ = – A sin x – B cos x

Підставляємо у₁, у¢ ₁ і у ¢¢₁ в рівняння (*):

–А sin x – B cos х– 2A cos x + 2В sin x + А sin x + В cos x º sin x.

Так як a = –1 не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв¢язок у₂ шукаємо у вигляді:

у ₂ = Ае^–х

Поиск по сайту: