|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Тема 4 : Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
4.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка (ЛОДУ-2). Определитель Вронского и его свойства
Общий вид , (3) где и непрерывные на некотором отрезке функции. Определение 2. Функции и называются линейно зависи-мыми (ЛЗ) на , если , где, по крайней мере, одно из них отличное от нуля, и для которых выполняется равенство или, если , то , т.е. В противном случае, функции и называются линейно независимыми (ЛНЗ). Например, функции и - ЛЗ, так как , а функции и - ЛНЗ, так как Для выяснения ЛЗ или ЛНЗ решений уравнения (3) используется определитель Вронского , что следует из теорем: Теорема 1. Если функции и линейно зависимы (ЛЗ) на , то определитель Вронского . Так как , то . Теорема 2. Если определитель Вронского, составленный из решений уравнения (3), при некотором отличен от нуля, т.е. то Так как и решения уравнения (3), то Первое равенство умножим на , второе на и сложим полученные результаты. С учётом, что , получим уравнение с разделяющимися переменными Найдём его решение, удовлетворяющее начальному условию (4) или . Формула (4) называется формулой Лиувилля. Из неё видно, что если то . Замечание 1. Из формулы (4) также следует, что если при некотором. Замечание 2. По формуле Лиувилля, зная одно из решений ЛОДУ-2, можно найти другое. Разделив обе части равенства (4) на получим Теорема 3. Если решения ЛОДУ-2 (3) ЛНЗ на , то . Предположим обратное, т.е. при некотором . Тогда по теореме 2 . Предположим, что (в противном случае определитель Вронского тождественно равен нулю), тогда имеем равенство т.е. функции и линейно зависимы. Полученное противоречие доказывает теорему.
4.2. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ-2
Теорема 4. Если функции и - два ЛНЗ решения уравне-ния (3), то его общее решение имеет вид , где и произвольные константы. Вначале покажем, что является решением уравнения (3), для чего подставим его в (3) и сгруппируем члены при и : . Далее покажем, что для любых начальных условий вида можно найти значения и , при которых такое решение удовлетворяло бы им. Подставим в эти условия , тогда получим систему для определения значений и . (5) с определителем Вронского так как и - ЛНЗ решения уравнения (3). Из решения системы (5) определяем и . Таким образом, является общим решением уравнения (3). Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |