Рівняння в повних диференціалах

Означення. Рівняння називають рівнянням в повних диференціалах, якщо ліва частина рівняння є повним диференціалом деякої функції.

Необхідною і достатньою умовою (згідно з курсом математичного аналізу) для того щоб вираз був повним диференціалом у деякій області є неперервність функції їх частинних похідних у цій області та виконання рівності .

Нехай рівняння в повних диференціалах, до його можна переписати у вигляді (), отже F(x,y)=c – загальне рішення рівняння.

Якщо рівність не виконується то може так статись, що існує (інтегруючий множник) для якого рівняння є рівнянням у повних диференціалах. Тоді розв’язок рівняння (що випливає з умови ). Зауважимо, що якщо вираз залежить тільки від однієї змінної х або у, то і можна шукати як таке,що залежить від тієї ж змінної:

(якщо залежить тільки від х),

(якщо залежить тільки від у).

Поиск по сайту: