Системи диференціальних рівнянь. Теорема існування та єдиності

Означення. Система рівнянь

де х незалежна змінна, невідомі функції від х, а - похідні відповідно, називається системоюдиференціальних рівнянь першого порядку.

Означення. Набір функцій () будемо називати рішенням системи, якщо при підстановці в систему диференціальних рівнянь отримаємо вірні тотожності.

Розглянемо задачу: знайти рішення системи

, що задовольняє умовам ,…, така задача називається задачею Коші для системи рівнянь.

Теорема (існування та єдиності). Нехай функції f (х, ),…,f (х, ) визначені і неперервні на області і по змінним задовольняють умові Ліпшица, тобто |f (х, )-f (х, )|≤N | |, для будь-яких () і ().Тоді існує h таке, що для х , задача Коші має єдине рішення, графік якого не виходить з області D; h<max(a, ), (| f |≤M, ).

Доведення теореми аналогічно доведенню теореми існування та єдиності для одного рівняння. Різниця лише у тому, що замість функції розглядаються набори функцій () і відповідно - простір неперервних наборів графіки яких не виходять за межі області D.

Зауважимо, що умова Ліпшица буде виконуватися, якщо всі похідні (i,j=1,…,n) обмежені на області D.

Поиск по сайту: