АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Задача Коші та її геометричний зміст

Читайте также:
  1. I. 3.1. Двойственная задача линейного программирования
  2. II.2. Задача о назначениях
  3. II.4. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ В ЗАДАЧАХ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  4. VI. Общая задача чистого разума
  5. В задачах 13.1-13.20 даны выборки из некоторых генеральных совокупностей. Требуется для рассматриваемого признака
  6. в задачах экспертного выбора.
  7. В) Задача
  8. В) Задача
  9. В) Задача
  10. В) Задача
  11. В) Задача
  12. В) Задача

Розглянемо диференціальне рівняння . Задача Коші заключається в тому, щоб серед всіх розв’язків диференціального рівняння знайти такий , який проходить через задану точку

(11)

Тут - початкове значення незалежної змінної, - функції.

Розв’язати задачу Коші з геометричної точки зору означає (мал. 1): знайти серед усіх інтегральних кривих диференціального рівняння (3) ту, яка проходить через задану точку .

 

 


 

       
 
 
 
   
Мал. 1.

 


Означення 7. Будемо говорити, що задача Коші (3), (11) має єдиний розв’язок, якщо число h>0, що на відрізку визначений розв’язок такий, що і не існує другого розв’язку, визначеного в цьому ж інтервалі і не співпадаючого з розв’язком хоча б в одній точці інтервалу , відмінній від точки .

Якщо задача Коші (3), (11) має не один розв’язок або ж зовсім його не має, то говорять, що в точці порушується єдиність розв’язку задачі Коші.

При постановці задачі Коші ми припускаємо, що - обмежені числа, а диференціальне рівняння (3) в точці задає деякий напрямок поля, який не паралельний осі ОУ.

 
 

Якщо права частина диференціального рівняння (3) в точці М приймає

 

нескінченне значення, необхідно розглянути диференціальне рівняння (3) і знайти розв’язок (мал. 2).

Мал. 2

Якщо ж в точці М права частина диференціального рівняння (3) має невизначеність, наприклад, типу , тоді звичайна постановка задачі Коші не має змісту, так як через точку М не проходить жодна інтегральна крива. В цьому випадку задача Коші ставиться так: знайти розв’язок (або ), який примикає до точки М.

В деяких випадках треба шукати розв’язок , який задовольняє умовам при при і т.д.

Теорема Пікара  (без доведення). Припустимо, що функція в диференціальному рівнянні (3) визначена і неперервна в обмеженій області

і, отже, вона є обмеженою

(12)

функція має обмежену частинну похідну по у на D

. (13)

При цих умовах задача Коші (3), (11) має єдиний неперервно-диференційовний розв’язок в інтервалі (14)

Зауваження 1.  В сформульованій теоремі умову (13) можна послабити (замінити) на те, щоб функція по змінній у задовольняла умові Ліпшіца, тобто

. (15)

Тут L>0 - найменша константа, яка задовольняє (15) і називається константою Ліпшіца.

 

Теорема Пеано  (про існування розв’язку).

Якщо функція є неперервною на D, то через кожну точку проходить, по крайній мірі, одна інтегральна крива.

Якщо функція диференційовна і задовольняє (13), то вона задовольняє умові Ліпшіца, з L=K. Функція може зодовольняти умові Ліпшіца, але не бути диференційовною і, отже, не буде задовольняти (13).

Наприклад, .

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)