|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Розв’язання. Iнтегруючи за змiнною x, маємо , де – довiльна диференцiйовна функція
Iнтегруючи за змiнною x, маємо , де – довiльна диференцiйовна функція. Iнтегруючи тепер останню рiвнiсть за змiнною y, одержуємо, що , де , - довiльнi диференцiйовнi функцiї. З наведених прикладiв випливає, що розв’язки диференцiального рiвняння з частинними похiдними першого порядку можуть залежати вiд однiєї довiльної функцiї, а розв’язки рiвняння другого порядку – вiд двох довiльних функцiй. Пiзнiше буде показано, що розв’язки рiвняння (1) можуть залежати вiд однiєї неперервно диференцiйовної функцiї, кiлькiсть аргументiв якої (n −1). Якщо у рiвняннi (1) функцiя Φ залежить лiнiйно вiд частинних похiдних шуканої функцiї, то його називають лiнiйним. Лiнiйне рiвняння можна записати у виглядi , (2) Якщо права частина рiвняння (2) тотожно дорiвнює нулю, а коефiцiєнти не залежать вiд шуканої функцiї u, то маємо рівняння , (3) яке називають лiнiйним однорiдним рiвнянням з частинними похiдними першого порядку. Вважаємо, що коефіцієнти цього рiвняння визначенi та неперервнi разом з частинними похiдними за змiнними у деякому околi заданої точки i що у ц iй точцi вони одночасно не перетворюються у нуль, наприклад, . Очевидно, що рiвняння (3) має розв’язок u = c, де c – довiльна стала. Одночасно з рiвнянням (3) розглядатимемо систему звичайних диференцiальних рiвнянь = =…= . (4) яка складається з (n −1)-го рiвняння. Систему (4) називають системою характеристик (характеристичною системою). Систему характеристик можна записати також у виглядi: , , …, (5) Доведемо двi теореми, якi встановлюють зв’язок мiж рiвнянням (3) i вiдповiдною системою характеристик (4). Теорема1. Кожний iнтеграл системи = =…= .єрозв’язком рiвняння . Доведення. Нехай – iнтеграл системи (4), визначений у деякому околi точки . Тодi згiдно з означенням iнтеграла повний диференцiал функцiї внаслiдок системи (4) тотожно дорiвнює нулю, тобто , де диференцiали потрiбно замiнити виразами, якi випливають з (5): ..., . Таким чином, звiдки випливає, що функцiя u = є розв’язком рiвняння (3). Теорема 2. Кожний розв’язок рiвняння (3) єiнтегралом системи (4). Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.) |