Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделенными переменными

Златоустовский торгово-экономический техникум

Учебно-методическое пособие

высшая математика

«Дифференциальные уравнения»

Златоуст 2007г.

Оглавление

Основные понятия дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделенными переменными.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющими переменными.

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Дифференциальные уравнения 2-го порядка

Приложение 1

Приложение №2

Литература

2. Валуце И. И., Дилигул Г. Д. Математика для техникумов. Учебное пособие.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1999г.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов.- М.: Наука, 1970-2001, т. 1,2.

4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс Высшей математики.- М.: Наука, 1989.

5. Данко П. Е., Попов А.Г., Кажевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.:Наука,1999,ч.1,2

Основные понятия дифференциального уравнения.

Определение. Дифференциальное уравнения - это уравнение, связывающее функционально зависимые переменные и их производные.

Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Если искомая функция зависит только от одного аргумента, то уравнение называется обыкновенным.

Мы будем решать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

В общем случае обыкновенное дифференциальное уравнение n–го порядка может быть записано в виде F(x, y, y^/,y^//...y⁽ⁿ⁾)=0, где y(x)- неизвестная функция, F-некоторая функциональная зависимость между независимой переменнойx, функцией y и её производными.

Например:

дифференциальное уравнение 1-го порядка,

- дифференциальное уравнение 2-го порядка,

-дифференциальное уравнение 3-го порядка.

Определение: Функция, обращающая дифференциальное уравнение в тождество, называется решением этого уравнения.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделенными переменными.

В общем виде дифференциальное уравнение 1-го порядка можно записать как равенство F(x, y, y′) = 0

Дифференциальное уравнение вида f(x)dx = g(y)dy называют уравнением с разделёнными переменными.

Пример. Найти общее решение уравнения xdx+ydy=0

Решение.

Разделим переменные, запишем уравнение в виде xdx = -ydy

Проинтегрируем обе части уравнения, получим

, или , или , .

3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющими переменными.

Определение. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида h(x)g(x) dx -

Чтобы привести это уравнение к уравнению с разделенными переменными достаточно разделить его на произведение

Пример. Найти общее решение уравнения y' = 3x – 1

Решение.

Представим производную у' как . Уравнение примет вид

Чтобы разделить переменные, умножим обе части уравнения на dx. Полученное равенство проинтегрируем:

Ответ: - общее решение.

Пример. Найти решение уравнения y'+y-1=0.

Решение.

Запишем уравнение в виде: y' = 1 –y. Представим производную у' как .

Уравнение примет вид Умножим уравнение на dx и разделим на 1-y≠0. Получим уравнение с разделенными переменными:

Найдём интегралы от обеих частей равенства:

или

Ответ: -решение дифференциального уравнения.

Пример. Найти общий интеграл (общее решение) уравнения

Вынесем за скобки общие множители:

Теперь разделим обе части уравнения на (y²∙x²) и сократим на x² и y²:

Получаем

Проинтегрируем обе части отдельно:

Общий интеграл (решение) уравнения имеет вид:

Преобразуем по свойству логарифмов и получим:

Ответ: -решение уравнения.

Поиск по сайту: