|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Дифференциальные уравнения первого порядка. Глава V. Дифференциальные уравненияГлава V. Дифференциальные уравнения Основные понятия и определения При изучении различных явлений часто не удается найти закон, связывающий величины, характеризующий это явление. Однако можно установить зависимость между этими величинами и их производными. Опр. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y=y(x) и ее производные , , … , то есть соотношение вида (1). Опр. Порядком дифференциального уравнения называется высший из порядков входящих в это уравнение производных. Примеры: 1) – д.у. первого порядка; 2) – д.у. второго порядка; 3) – д.у. четвертого порядка. Опр. Решением дифференциального уравнения (1) называется n раз дифференцируемая функция, которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. Рассмотрим задачи, приводящие к (обыкновенным) дифференциальным уравнениям. Задача 1.1. Радиоактивный распад. Экспериментально установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству нераспавшегося вещества. М0 – начальное количество вещества. Найти зависимость между количеством нераспавшегося вещества М и временем t. Решение. Скорость радиоактивного распада равна , то есть производной от количества вещества М по времени t. По условию: , где k – коэффициент пропорциональности. «–», так как с возрастанием t количество вещества М уменьшается. , проинтегрируем и получим . При t =0: . Коэффициент k можно определить экспериментально. Например, для М 0=1ч определили, что . Значит, процесс распада протекает по формуле . Через 10 мин количество нераспавшегося вещества равно г. Задача 1.2. Найти уравнение семейства кривых, зная, что угловой коэффициент касательной в каждой точке любой кривой семейства равен отношению ординаты этой точки к ее абсциссе, взятому с противоположным знаком. Решение. y=y(x) – уравнение кривой , – д.у. первого порядка
– решение д.у., семейство гипербол. Проверим, что – решение. , – тождество. Задача нахождения решения д.у. называется интегрированием дифференциального уравнения, а график решения д.у. – интегральной кривой.
Дифференциальные уравнения первого порядка В общем случае д.у. I го порядка имеет вид . Если его можно разрешить относительно , то получим – д.у., разрешенное относительно . Д.у. первого порядка также можно записать в виде или . Теорема Коши. Теорема о существовании и единственности решения д.у. . Если в уравнении (1) функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости Оху, содержащей точку (х 0; у 0), то найдется интервал , на котором существует единственное решение y=y(x) этого уравнения, удовлетворяющее условию y(x0)= y0 (2). Без доказательства. Задача нахождения решения д.у. (1), удовлетворяющего условию (2) называется задачей Коши, а условие y(x0)= y0 называют начальным условием. Другие записи начального условия: y= y0 при х=х0; . Опр. Функция y=y(x,c), где с – произвольная постоянная, называется общим решением д.у. (1) в области D, если: 1) она является решением этого уравнения при любом значении с; 2) какова бы ни была точка (х0;у0), лежащая внутри D, существует единственное значение с=с0 такое, что решение y=y(x,c0) удовлетворяет начальному условию y(x0)= y0. Опр. Частным решением д.у. (1) называется решение y=y(x,c0), которое получается из общего решения y=y(x,c) при конкретном с=с0. Геометрическая иллюстрация Общему решению соответствует семейство интегральных кривых (задача 1.2. – семейство гипербол). Отыскание частного решения по начальному условию y(x0)=y0 геометрически означает, что из семейства интегральных кривых выбираем ту, которая проходит через точку (х0;у0). Согласно теореме Коши через каждую точку, в которой функции и непрерывны, проходит единственная интегральная кривая. Точки (х;у), в которых не выполняются условия теоремы, называются особыми точками д.у. В этих точках и терпят разрыв. Через особую точку либо не проходит ни одна интегральная кривая, либо проходит несколько. Рассмотрим задачу 1.2. – д.у.; – общее решение (семейство гипербол). Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию у (2)=1. с =2 – частное решение. Общему решению соответствует семейство гипербол. Частному решению – одна кривая этого семейства, проходящая через точку (2;1). Замечание. Часто общее решение д.у. можно получить только в неявном виде, то есть в виде . Это равенство называют общим интегралом д.у. Если с=с0, то получим частный интеграл.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |