Лекція 1. Основні поняття теорії д.р

При вивченні фізичних явищ часто не вдається безпосередньо знайти закони, які пов’язують величини, що характеризують фізичне явище. Але в той же час легко встановлюється залежність між тими ж величинами та їх похідними або диференціалами. При цьому отримуються рівняння, що містять невідомі функції під знаком похідної або диференціала.

Означення. Рівняння, яке крім незалежних змінних і невідомих функцій цих змінних, має в своєму складі і похідні функцій або їх диференціали, називаються диф. рівнянням.

Приклад.

- рівняння радіаційного розпаду, де - стала розпаду, - кількість речовини, що не розклалася в момент часу . Тому швидкість розпаду пропорційна кількості речовини, що розпадається.

Означення. ДР називається звичайним, якщо невідомі функції, які входять в нього, залежать від однієї змінної.

Так, р-ня 1-4 є звичайними.

Якщо в рівняння входять частинні похідні невідомих функцій від багатьох незалежних змінних, то таке рівняння називається рівнянням в частинних похідних.

Так, р-ня 5 є р-ням в частинних похідних.

Означення. Порядком ДР називається порядок найвищої похідної чи диференціала від невідомої функції, яка входить у ДР.

Так,…

В цьому курсі будемо вивчати лише звичайні ДР, яке в загальному випадку має вигляд:

.

Розв’язати ДР означає знайти всі функції, які задовольняють його, або іншими словами, перетворюють його в тотожність.

Означення. Функція , що задовольняє ДР при будь-якому значені аргумента в деякій області, називається розв’язком або інтегралом ДР.

Наприклад, ДР має своїм розв’язком функцію , і взагалі кажучи всі функції виду , де С- довільна стала. Це легко перевірити підстановкою.

ДР , де - стала, має своїм розв’язком функцію , де - стала.

Якщо розв’язок записано в скінченному вигляді і він визначає як неявну функцію від , то такий розв’язок називають інтегралом ДР.

Наприклад, для ДР неявна функція є інтегралом цього ДР.

Дійсно, продиференціювавши , отримаємо . Тоді і , .

Знаходження розв’язку ДР або його інтеграла, тобто розв’язання ДР, називається інакше інтегруванням ДР.

При вивченні інтегрального числення функції однієї змінної ми зустрічалися з найпростішими ДР типу , де - задана відома функція. Це рівняння розв’язується за формулою . Відомо, що задача невизначеного інтегрування має нескінченну кількість розв’язків, оскільки для кожної неперервної функції існує нескінченна множина первісних, що відрізняються одна від одної на сталу .

В загальному випадку задача розв’язання ДР є широким узагальненням задачі інтегрування. Тому кожне ДР визначає цілий клас функцій, і можна припустити, що розв’язок ДР -го порядку містить довільних сталих. Дійсно це так.

Означення. Загальним розв’язком ДР -го порядку називається таке рівняння , в яке входить і довільні сталі і яке дає для вираз, що задовольняє дане ДР.

Наприклад, функція є загальним розв’язком ДР (перевірити це).

Приклад. Показати, що рівність є загальним інтегралом ДР .

Зауваження. Сталі в деяких випадках можуть бути не зовсім довільними, тобто довільними в певних межах. Наприклад, для ДР загальним інтегралом є функція , причому може набувати тут тільки додатних значень. Для ДР загальний розв’язок є функція . Тут довільна стала не може набувати значення, рівне нулю.

Кожна функція, яку отримуємо із загального розв’язку пр. и окремих значеннях довільних сталих, називається частинним розв’язком.

Наприклад, для ДР загальним розв’язком є . Поклавши , отримаємо частинний розвозок .

Розглянемо у загальному інтегралі і як декартові координати точки на площині, а - як довільні параметри. Тоді дане рівняння є рівнянням сім’ї плоских кривих, що залежать від параметрів. При окремих значеннях сталих отримаємо окремі криві цієї сім’ї. Ці криві називаються інтегральними кривими, а їх рівняння є частинними інтегралами ДР -го порядку.

У випадку ДР першого порядку сім’я криви їх залежить від однієї довільної сталої .

Приклад. Для ДР загальним розв’язком є . Тут, інтегральні криві – параболи, які дістаємо з будь-якої з них паралельним перенесенням вздовж вісі .

Для ДР загальним розв’язком є . Інтегральними кривими є також параболи, але зі спільною вершиною в початку координат.

Для ДР загальним розв’язком є . Інтегральними кривими є концентричні кола з центром в початку координат.

На практиці досить часто буває потрібним не загальний розв’язок, а частинний, що відповідає певним умовам, які випливають з умов даної конкретної задачі. Такі певні умови називаються початковими умовами. А задачу знаходження частинного розв’язку при заданих початкових умовах називають задачею Коші.

Для рівняння -го порядку ставиться питання про знаходження такого розв’язку , щоб справджувались умови

,

де задані дійсні числа. Початкових умов стільки, який порядок ДР.

Поиск по сайту: