Ответ: не существует

Пример 19. (МГУ, экономический факультет, 1997, № 6.) Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с периодом 4, и на промежутке 0 ≤ x ≤ 2 ее значения вычисляются по правилу

f(x) = 1 – | x – 1 |. Решить уравнение 2f(x)∙f(x – 8) + 5f(x + 12) + 2 = 0.

Решение. Раскроем модуль в выражении для функции f(x) на отрезке [0; 2]:

Так как функция f(x) — нечетная, то

По условию, функция f(x) — периодическая с периодом 4. Значит, f(x – 8) = f(x), f(x + 12) = f(x). Значит, исходное уравнение примет вид:

Найдем вначале решения последней совокупности на отрезке [–2; 2] (то есть на одном из полных периодов функции f(x)).

Если f(x) = –2, то:

при x ∈ [–2; –1] получим уравнение –x – 2 = = –2, решением которого является x = 0, не удовлетворяющее условию x ∈ [–2; –1];

при x ∈ (–1; 1) получим x = –2, что не удовлетворяет условию x ∈ (–1; 1);

при x ∈ [1; 2] получим уравнение –x + 2 = –2, решением которого является x = 4, не удовлетворяющее условию x ∈ [1; 2].

Если f(x) = –0,5, то:

при x ∈ [–2; –1] получим уравнение –x – 2 = –0,5, решением которого является x = –1,5, –1,5 ∈ [–2; –1];

при x ∈ (–1; 1) получим x = –0,5, –0,5 ∈ (–1; 1);

при x ∈ [1; 2] получим уравнение –x + 2 = –0,5, решением которого является x = 2,5, не удовлетворяющее условию x ∈ [1; 2].

Поскольку функция f(x) является периодической с периодом 4, то окончательно получим две серии решений уравнения

2f(x)∙f(x – 8) + 5f(x + 12) + 2 = 0:

x = –1,5 + 4k, k ∈ Z;

x = –0,5 + 4n, n ∈ Z.

Ответ: –1,5 + 4k, k ∈ Z; –0,5 + 4n, n ∈ Z.

Пример 20. (LXX Московская математическая олимпиада, окружной тур, 11-й класс, 2007, № 4.) Функция f(x) такова, что для любых положительных x и y выполняется равенство f(xy) = f(x) + f(y). Найти f(2007), если

Решение. По условию f(1∙1) = f(1) + f(1), или f(1) = 2f(1). Значит, f(1) = 0. Кроме того, для всех положительных x выполнено:

Отсюда при x = 2007 получим:

Поиск по сайту: