Диференціальне рівняння кривої, яка в кожній точці має задану дотичну

Міністерство освіти і науки України

Бердичівський коледж промисловості, економіки та права

Волошина З. П.

Методична розробка

З дисципліни «Вища математика»

На тему: «Диференціальні рівняння»

Для студентів другого курсу спеціальності 5.05050302

«Технологія обробки матеріалів на верстатах і

Автоматичних лініях»

Бердичів 2010

Автор-укладач З.П. Волошина

Методична розробка з дисципліни «Вища математика» на тему: «Диференціальні рівняння»

У даній методичній розробці викладено, на доступному рівні, в логічній послідовності, матеріал щодо вивчення диференціальних рівнянь.

В розробці подано загальні відомості про диференціальні рівняння: задачі, що приводять до дифрівнянь, порядок, частинний і загальний розв'язки диференціального рівняння, задачу Коші; матеріал про рівняння з відокремленими змінними і рівняння із змінними, що відокремлюються; розглянуто однорідні рівняння та лінійні рівняння першого порядку.

До кожного типу диференціальних рівнянь наведено приклади розв’язування, з детальними кроками розв'язку.

В кінці розробки вказано використану літературу.

Розробка розрахована для студентів другого курсу спеціальності «Технологія обробки матеріалів на верстатах і автоматичних лініях» та студентів заочного відділення.

Розглянуто на засіданні циклової комісії

фізико-хіміко-математичних дисциплін

Протокол № від 2010р.

Голова циклової комісії:

О.О.Горленко.

Диференціальне рівняння кривої, яка в кожній точці має задану дотичну

Нехай G – деяка множина точок М площини, на якій введена прямокутна система координат, і нехай х, у – координати точок М. Так як між точками площини і парами чисел (х;у) є взаємно однозначну відповідність, тоді говорять, що G множина точок (х;у).

Якщо кожній точці (х;у) з множини G ставиться у відповідність деяке дійсне число f(x;y), тоді f називається функцією точки (х;у) або функцією двох змінних х, у, яка визначена на множині G і позначається f(x;y), (x;y)d wsp:val="00FD1720"/><wsp:rsid wsp:val="00FF5919"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00556D98"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t> Пµ</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> G.

Розглянемо тепер наступну задачу.

Знайти рівняння кривої, яка в кожній своїй точці з координатами х, у має дотичну з заданим кутовим коефіцієнтом .

Іншими словами, потрібно знайти функцію , яка задовольняє рівнянню

(1)

де - похідна по х від шуканої функції.

Це рівняння називається диференціальним рівнянням,

функція φ(х) – його розв'язком,

а крива, задана рівнянням - інтегральною кривою.

Розглянемо один випадок.

Нехай функція f залежить тільки від х і визначена на деякому інтервалі(а;b). Рівняння

(2)

розв'язується в теорії невизначених інтегралів. Було показано, що всі розв'язки цього рівняння задаються формулою

Ця формула містить неявно довільну сталу С.

Дійсно, якщо F(x) – деяка первісна функції f(x), то

(3)

Таким чином, рівняння (2) має нескінченну множину розв'язків. Будь-яка крива, задана рівнянням (3) при фіксованому С, являється розв’язком поставленої задачі.

З теорії визначених інтегралів відомо, що у будь-якої неперервної функції f(x ) є деяка первісна і цією первісною являється інтеграл із змінною верхньою межею. Звідси

.

Крива,що задана цим рівнянням, проходить через точку з координатами х₀, С. Звідси, через кожну точку (х₀;у₀), де х₀ (а;b), проходить єдина інтегральна крива

Поиск по сайту: