Касательная и нормаль к кривой

Пусть - дифференцируемая в точке x ₀ функция, M ₀ - точка на графике этой функции с координатами x ₀ и y ₀= f (x ₀), - угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке M ₀, - угол наклона касательной к оси абсцисс (рис 1 а).

Геометрический смысл производной состоит в том, что угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в данной точке, равен значению производной функции в этой точке, т.е.

f ¢ (x ₀) = k.

Уравнение касательной к графику функции в точке M ₀ имеет вид

.

Прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к графику функции в этой точке.

Уравнение нормали к графику функции в точке M ₀(x ₀ , y ₀) имеет вид

.

Пример 14. Найти уравнения касательной и нормали к параболе y = x ² в точке с абсциссой 2.

Решение. Пусть x ₀ = 2, f (x) = x ² . Тогда, f (x ₀) = 4, f ¢(x) = 2 x, f ¢(x ₀) = 4. По формуле (5) получаем уравнение касательной:

y – 4 = 4(x – 2) или y - 4 x + 4 = 0.

По формуле (6) получаем уравнение нормали:

4(y – 4) + x – 2 = 0 или x + 4 y - 18= 0.

Замечание. Пусть =+∞ (или – ∞). Тогда касательная к графику функции в точке M ₀ параллельна оси Оу, а уравнение касательной имеет вид х=x ₀ (рис.1 б).

Замечание. Если =0, то касательная к графику функции в точке M ₀ параллельна оси Ох (рис.1 в).

Поиск по сайту: