Первообразная. Неопределённый интеграл

Основная задача дифференциального исчисления: по заданной функции ƒ(х) найти её производную ƒ^/(x) или дифференциал ƒ^/(x) dx. Теперь будем решать обратную задачу: по заданной производной или дифференциалу найти саму функцию ƒ(х).

С точки зрения механики это значит, что по известной скорости движения найти закон движения.

Определение 1: функция F(x) называется первообразной функцией для функции ƒ(х) на интервале (a, b), если F(x) дифференцируема на (a, b) и F^/(x)=ƒ(х) или dF(x)=ƒ(x)dx

Простейшие примеры:

так как

так как

Если для ƒ(х) существует первообразная F (x), то существует и бесчисленное множество первообразных. Например, для ƒ(х) = х ² первообразными будут функции:

и т.д.

Теорема 1: Если F(x) есть первообразная для функции ƒ(х) на (a, b), то функция F(х) + C – так же первообразная, где C - любое число.

Доказательство: так как , то

Даёт ли формула F (x) + c все первообразные для ƒ(х) или могут быть какие-то другие, не содержащиеся в этой формуле?

Теорема 2: Если две функции F(x) и Ф(х) являются первообразными для ƒ(х) на (a,b), то их разность постоянна на этом интервале: Ф(х) – F(x) = C

Доказательство: По условию Ф (х) = ƒ(x) и F^/(x) = ƒ(х) , составим вспомогательную функцию φ (х) = Ф (х) – F (x).

Очевидно:

.

Отсюда следует, что

на (a, b).

Из данных теорем следует, что если F (x) есть первообразная для ƒ(х) на (a, b), то любая другая первообразная Ф (х) для ƒ(х) на (a, b) имеет вид

. (1)

Таким образом, если производные двух функций тождественно равны, то сами функции могут отличаться лишь на постоянное слагаемое.

Определение 2: Множество всех возможных первообразных функции ƒ(х) на интервале (a, b) называется неопределённым интегралом функции ƒ(х) и обозначается символом

Знак называется интегралом,

ƒ(х) – подынтегральная функция,

ƒ(х) dx – подынтегральное выражение.

Таким образом, если F (x) – одна из первообразных для ƒ(х), то; по определению:

Рис. 7.

Операцию нахождения неопределённого интеграла (первообразная) называют интегрированием функции ƒ(х). В приложениях интегрировать приходится чаще, чем дифференцировать.

Функция, имеющая первообразную, называется интегрируемой.

Теорема: Если функция ƒ(х) непрерывна на (a, b) то для неё существует первообразная на (a, b), т.е. она интегрируема.

Поиск по сайту: