АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Интегрирование с помощью замены переменной

Читайте также:
  1. I. Монополия имеет место тогда, когда предприятие выпускает продукцию, для которой нет замены.
  2. III. Решение логических задач с помощью рассуждений
  3. Root(Выражение, имя переменной)
  4. V2: ДЕ 32 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная
  5. V2: ДЕ 35 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производные высший порядков
  6. V2: ДЕ 39 - Интегральное исчисление функции одной переменной. Приложения определенного интеграла
  7. А), б) – по определению; в), г) – с помощью свойств
  8. А). Расчет стоимости одного комплекта гуманитарной помощи с помощью функции СЛУЧМЕЖДУ
  9. Автоматизированное рабочее место (АРМ) специалиста. Повышение эффективности деятельности специалистов с помощью АРМов
  10. Алгоритм 1.2. Выделение групп предприятий с помощью заливки контрастным цветом
  11. Алгоритм определения точек локальных и глобальных экстремумов функции одной переменной
  12. Анализ внешних эффектов с помощью частных и социальных издержек и выгод

 

Одним из самых сильных методов интегрирование является метод замены переменной.

Пусть надо вычислить интеграл

F(x)dx. (2)

Часто его можно упростить, введя вместо х новую переменную t, положив

x = φ(t) и dx = φ′(t)dt .(3)

Для преобразования неопределённого интеграла (2) к новой переменной t по формуле (3) достаточно преобразовать к новой переменной его подынтегральное выражение:

(4)

В формуле (4) предполагается, что ƒ(х) непрерывна на некотором промежутке оси Ох, а функции φ(t) и φ′(t) непрерывны на соответствующем промежутке изменения t. Это равенство надо понимать так: после интегрирования левой части по х и подстановки х = φ(t) мы должны получить тождество.

Для доказательства формулы (4) вычислим дифференциал от обеих частей:

и

 

.

Раз дифференциалы двух функций тождественно равны, то сами функции отличаются на постоянное слагаемое С. В этом смысле и надо понимать (4).

Замечание 1: Часто вместо подстановки (4) употребляют обратную:

; . (5)

Замечание 2: Так как

,

то, если ,

из (4) следует:

Таким образом, вид неопределённого интеграла не зависит от выбора аргумента интегрирования. Этот факт используется при интегрировании способом подведением под знак дифференциала.

Примеры:

Вообще:

Если в числе стоит производная знаменателя, то интеграл от дроби равен логарифму от модуля знаменателя.

 

2.5. Правило интегрирования по частям

Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные. Тогда по правилу дифференцирования произведения имеем:

Интегрируем обе части равенства по х:

. (7)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула сводит вычисление интеграла udv к вычислению интеграла vdu, который может оказаться проще исходного. При этом за u(x) обычно выбирают множитель подынтегрального выражения, который при дифференцировании упрощается, а за dv – множитель, который нетрудно проинтегрировать.

 

Пример 1: Вычислить неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

Пример 2:

Пример 3:

.

Интегрирование по частям приводит к успеху при интегрировании выражений вида:



,

 

Пример 4:

Применим ко второму интегралу еще раз формулу интегрирования по частям

 

Пример 5*:

Получили интеграл равный данному. Обозначив его за J,

получим равенство

 

Перенося J в левую часть равенства, имеем

Окончательно:

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.005 сек.)