Интегрирование правильных рациональных дробей
Пример 1: Вычислить интеграл .
Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей.
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители.
Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые степени и коэффициенты при одинаковых степенях равны:
Подставим найденные коэффициенты в разложение
Окончательно получим:
Пример 2: Вычислить интеграл .
Разложим дробь на простейшие
Приравняем числители:
Окончательно получим:
Пример 3: Вычислить
Заключение: Всякая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях, причём в результате получаются многочлены, дробно – рациональные функции, логарифмы и арктангенсы.
Замечание: Чтобы интегрирование функции (13) довести до конца, нужно знать все корни многочлена Qm (x) и их кратности. В принципе метод разложения на сумму простейших дробей применим всегда, но он связан часто с необходимостью решать алгебраические уравнения высоких степеней, что не всегда возможно.. 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | Поиск по сайту:
|