АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Интегрирование тригонометрических выражений

Читайте также:
  1. Decide which answer А, В, С or D best fits each space. Подумайте, какие из предложенных ответов лучше подходят для данных выражений.
  2. Decide which answer А, В, С or D best fits each space. Подумайте, какие из предложенных ответов лучше подходят для данных выражений.
  3. I I I. Преобразование тригонометрических выражений.
  4. Б) Вычисление тригонометрических функций.
  5. Ввод формул и выражений на лист вычислений
  6. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений
  7. Выражений
  8. Геометрический смысл тригонометрических функций
  9. Графики обратных тригонометрических функций
  10. Графики тригонометрических функций
  11. Дробно-рациональные функции. Простейшие дробно-рациональные функции и их интегрирование
  12. Задачи на составление логических выражений. Написать программы, проверяющие следующие условия

1.Универсальная тригонометрическая подстановка

 

Пусть надо вычислить интеграл от тригонометрической функции, рациональной относительно sinx и cosx:

. (14)

Докажем, что с помощью замены переменной вычисление данного интеграла можно свести к вычислению интеграла от дробно – рациональной функции относительно t. Положим:

(15)

Выразим sinx, cosx и dx через t и dt;

 

 

 

.

Следовательно,

Получаем:

Под знаком интеграла получим дробно – рациональную функцию от t. Это означает, что рациональное тригонометрическое выражение всегда интегрируемо в конечном виде.

 

Примеры:

 

2.

 

Замена переменной (15) называется универсальной тригонометрической подстановкой, т.к. с её помощью интеграл (14) всегда приводится к интегралу от дробно – рациональной функции. Однако пользоваться этой подстановкой не всегда целесообразно, так как часто она приводит к громоздким выкладкам. Поэтому в некоторых частных случаях используют другие подстановки.

 

 

2.Частные случаи интегрирования тригонометрических выражений.

1) Если подынтегральная функция нечётна относительно cosx: R(-cosx, sinx) = -R(cosx,sinx), тогда замена sinx = t рационализирует интеграл (14);

Пример:

2) Если подынтегральная функция нечетна относительно sinx: R(cosx, -sinx) = -R(cosx, sinx), тогда замена cosx = t рационализирует интеграл (14);

Пример:

3) Если подынтегральная функция чётна и относительно sinx, и относительно cosx, т.е. R(-cosx, -sinx) = R(cosx, sinx), то замена tgx = t рационализирует интеграл (14).

Воспользуемся тригонометрическими равенствами:

Найдем дифференциал dx.

.

Окончательно получим замену:

.

 

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)