Интегрирование тригонометрических выражений

1.Универсальная тригонометрическая подстановка

Пусть надо вычислить интеграл от тригонометрической функции, рациональной относительно sin x и cos x:

. (14)

Докажем, что с помощью замены переменной вычисление данного интеграла можно свести к вычислению интеграла от дробно – рациональной функции относительно t. Положим:

(15)

Выразим sin x, cos x и d x через t и d t;

.

Следовательно,

Получаем:

Под знаком интеграла получим дробно – рациональную функцию от t. Это означает, что рациональное тригонометрическое выражение всегда интегрируемо в конечном виде.

Примеры:

2.

Замена переменной (15) называется универсальной тригонометрической подстановкой, т.к. с её помощью интеграл (14) всегда приводится к интегралу от дробно – рациональной функции. Однако пользоваться этой подстановкой не всегда целесообразно, так как часто она приводит к громоздким выкладкам. Поэтому в некоторых частных случаях используют другие подстановки.

2.Частные случаи интегрирования тригонометрических выражений.

1) Если подынтегральная функция нечётна относительно cos x: R(- cos x, sin x) = -R( cos x, sin x), тогда замена sin x = t рационализирует интеграл (14);

Пример:

2) Если подынтегральная функция нечетна относительно sinx: R (cos x, -sin x) = -R (cos x, sin x), тогда замена cos x = t рационализирует интеграл (14);

Пример:

3) Если подынтегральная функция чётна и относительно sin x, и относительно cos x, т.е. R(- cos x, -sin x) = R( cos x, sin x), то замена tgx = t рационализирует интеграл (14).

Воспользуемся тригонометрическими равенствами:

Найдем дифференциал dx.

.

Окончательно получим замену:

.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Поиск по сайту: