 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Классы интегрируемых функций
Теорема 1: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на данном отрезке.
Доказательство: Любая непрерывная на отрезке функция по теореме Кантора равномерно непрерывна на этом отрезке, т. е.:
Применим критерий интегрируемости:
Следовательно, 
, ч. т. д.
Теорема 2: Если определенная и ограниченная на отрезке [a,b] функция имеет не более чем конечное количество точек разрыва, то эта функция интегрируема на [a,b].
Доказательство: Возьмём произвольное ε > 0. Окружим точки разрыва окрестностями таким образом, чтобы длина каждой была меньше ε. В оставшихся (замкнутых) промежутках функция f(x) будет непрерывной, и мы можем применить к каждому из них в отдельности следствие из теоремы Кантора. Из полученных по ε чисел δ выберем наименьшее (его мы также будем обозначать буквой δ). Тогда оно будет годиться для каждого из указанных выше промежутков. Ничто нам не мешает взять при этом δ < ε. Разобьем теперь наш промежуток [a,b] на части так, чтобы их длины 
все были меньше δ. Полученные частичные промежутки будут двух родов:
1) Промежутки, лежащие целиком вне выделенных окрестностей около
точек разрыва. В них колебание функции ωi < ε.
2) Промежутки, либо заключенные целиком внутри выделенных
окрестностей, либо частью на эти окрестности налегающие.
Так как функция f(x) предположена ограниченной, то колебание ее Ω во всем промежутке [a,b] будет конечно; колебание же в любом частичном промежутке не превосходит Ω.
Сумму
разобьем на две:
и 
распространенные, соответственно, на промежутки первого и второго рода.
Для первой суммы, как и в предыдущей теореме, будем иметь
Что касается второй суммы, то заметим, что длины промежутков второго рода, целиком попавших внутрь выделенных окрестностей, в сумме < kε; промежутков же, лишь частично налегающих на них, может быть не больше 2k, и сумма их длин < 2kδ, а значит, и подавно < 2kε. Следовательно,
Таким образом, окончательно при 
имеем
Это и доказывает наше утверждение, так как в квадратных скобках содержится постоянное число, а ε произвольно мало.
Теорема 3: Монотонная на [a,b] функция интегрируема на нём.
Доказательство: Пусть f(x) возрастает. Возьмем разбиение τ, такое, что
Так как функция f(x) монотонно возрастает, то имеем: 
,
а для каждого из промежутков разбиения выполняется: 
. Тогда:
, ч. т. д.
Поиск по сайту: