Относительно неподвижной оси

В проекции на ось предыдущее уравнение запишется:

а так как , то , если , то . Так как проекция углового ускорения на ось , то получим уравнение динамики вращательного движения относительно оси Z и сравним с уравнением динамики для поступательного движения (2-й закон Ньютона).

Соответствие очевидно:

Поступательное движение			Вращательное движение

Замечание: если вокруг оси вращается однородное симметричное тело, то , и тогда очевидно:

(Угловое ускорение совпадает по направлению с вектором момента силы).

6. Гироскопы (от греч. круг, смотрю, наблюдаю).

Гироскопом называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии.

Рассмотрим поведение гироскопа на примере волчка (рис. 3.11). Опыт показывает, что если ось вращающегося волчка наклонена к вертикали, то волчок не падает, а совершает так называемое прецессионное движение (прецессию) – т.е. его ось описывает конус вокруг вертикали с некоторой угловой скоростью , причём чем больше скорость вращения волчка, тем меньше угловая скорость прецессии ().

Из уравнения моментов следует:

Приращение совпадает по направлению с моментом внешних сил, относительно точки О. Момент силы тяжести , как видно из рис. 3.11, перпендикулярен моменту импульса, т.е. , следовательно, приращение момента импульса . В результате вектор (и ось волчка) будут поворачиваться вместе с вектором вокруг вертикали, описывая круговой конус с углом полураствора .

Найдём связь между , и :

или в векторном виде , сравнивая с , получаем уравнение для угловой скорости прецессии.

Из уравнения видно, что момент силы определяет угловую скорость прецессии, а не ускорение. Это означает, что мгновенное устранение момента приводит к мгновенному исчезновению и прецессии, т.е. прецессия не обладает инерцией.

Гироскопический эффект

Рассмотрим эффект, возникающий при вынужденном вращении оси гироскопа. Пусть ось гироскопа укреплена в -образной подставке, которую мы будем поворачивать вокруг оси (рис. 3.12).

Рис. 3.12

Если момент импульса гироскопа направлен вправо, то при таком повороте за время вектор получит приращение вектор, направленный перпендикулярно . Согласно уравнению это означает, что на гироскоп действует момент силы , совпадающий по направлению с вектором . Момент обусловлен возникновением пары сил , действующих на ось гироскопа со стороны подставки. Ось гироскопа, в свою очередь, в соответствии с 3-им законом Ньютона будет действовать на подставку с силами . Эти силы называются гироскопическими. Они создают гироскопический момент . Появление гироскопических сил называют гироскопическим эффектом.

Замечание: в узком смысле гироскопическим эффектом иногда называют движение волчка не в сторону действия силы, а перпендикулярно к ней.

Примеры возникновения гироскопического эффекта: гироскопическое давление на подшипники у роторов турбин, компрессоров на кораблях, самолётах при поворотах, виражах.

Гироскопы являются основными узлами в гирокомпасах, в которых используется свойство гироскопов с тремя степенями свободы: его ось стремится устойчиво сохранить в мировом пространстве приданное ей первоначальное направление. Если ось направить на какую-либо звезду, то при любых перемещениях прибора и случайных толчках она будет указывать на эту звезду.

Вопросы для самоконтроля

1. Какое движение называется вращательным?

2. Как определяют угловую скорость и угловое ускорение?

3. Что является мерой инертности при вращательном движении?

4. Дайте определение момента инерции материальной точки и момента инерции твёрдого тела.

5. Как вычисляют моменты инерции для сплошного цилиндра и тонкого стержня?

6. Сформулируйте теорему Штейнера.

7. Что называется свободной осью? Какие оси называют главными осями инерции?

8. Дайте определения момента силы и момента импульса материальной точки относительно некоторой точки.

9. Как связан момент импульса с моментом инерции и угловой скоростью?

10. Выведите уравнение моментов.

11. Запишите уравнение динамики вращательного движения относительно оси .

12. Что называется гироскопом?

13. Что такое прецессия? От чего зависит скорость прецессии?

14. Что называется гироскопическим эффектом?

Лекция № 4

Поиск по сайту: