АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Рівняння руху Коші

Читайте также:
  1. Бюджетні обмеження споживача, бюджетне рівняння та фактори впливу на бюджетну лінію.
  2. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної.
  3. Грошовий обіг та його закони. Рівняння грошової та товарної мас (рівняння Ірвена Фішера). Грошові агрегати.
  4. Загальне рівняння фотосинтезу та походження кисню
  5. Змістовний модуль 6.2. «Рівняння, їх системи і сукупності.».
  6. Знаходження параметів лінійного рівняння регресії методом найменших квадратів
  7. КОМПЛЕКСНІ ХВИЛЬОВІ РІВНЯННЯ
  8. Лінійна кореляція і рівняння лінійної регресії
  9. Малюнок № 6.1. Графік рівняння кола.
  10. Моделі состава, відчепу і вагона. Диференціальне рівняння скочування відчепів з гірки
  11. Найбільш просте рівняння стану системи – рівняння стану для 1 моль ідеального газу
  12. Оцінка тісноти та значимості зв’язку між змінними у рівняннях парної регресії

Для рівноваги довільно виділеного об’єму пружного середовища під дією систем поверхневих і об’ємних сил, включаючи сили інерції, вимагається, щоб результуючі сили і момент, діючих на цей об’єм, дорівнювали нулю.

Виділимо в пружному тілі елемент об’єму . Компоненти сил інерції, діючих на елементарний об’єм , будуть:

; ; , (2.4)

де: - густина тіла; - компоненти переміщення; - час.

Проекції прискорення в (2.4) можна визначити з формул (1.5), диференціюючи які, отримаємо

Для об’єму пружного тіла компоненти сил інерції будуть:

. (2.5)

В якості зовнішніх сил, діючих на об’єм (рисунок 2.1), маємо об’ємні сили, наприклад, силу тяжіння, з компонентами , і сили пружних напружень, прикладених до поверхні об’єму V, з компонентами , , .

Для об’єму V пружного тіла компоненти сили тяжіння будуть:

; ; . (2.6)

Компоненти сил пружних напружень, прикладених до поверхні об’єму V

; ; . (2.7)

Враховуючи (2.5), (2.6) і (2.7), запишемо умову рівноваги довільного об’єму V пружного середовища під дією проекцій сил на вісь :

. (2.8)

Підставимо в (2.8) значення з (2.2) і за допомогою теореми Гауса-Остроградського перейдемо від інтегралу по поверхні до інтегралу по об’єму:

. (2.9)

В силу довільності об’єму V:

. (2.10)

 

Аналогічно, співставляючи умови рівноваги довільного об’єму пружного середовища під дією компонент сили на осі і , отримаємо

, (2.11)

. (2.12)

Вирази (2.10) і (2.12) – рівняння руху деформованого тіла.

Якщо пружне тіло знаходиться в рівновазі під дією заданих сил, то компоненти сил інерції дорівнюють нулю, і рівняння рівноваги набувають вигляду:

(2.13)

Для рівноваги довільного об’єму V пружного середовища крім того необхідно, щоб результуючий момент сил, діючих на цей об’єм, дорівнював нулю.

Наприклад, умова рівноваги моментів сил, діючих на елементарний об’єм, відносно осі, паралельній х (рис.2.3), необхідно виконання рівності

,

звідки

При отримаємо співвідношення

.

Аналогічні вирази можна отримати для моментів сил відносно вісей у та z:

Таким чином, в загальному випадку справедливе співвідношення

, (2.14)

яке показує, що тензор напружень є симетричним.



Якщо врахувати рівність (2.14), напружений стан в будь-якій точці деформованого тіла визначається шістьма компонентами напруження: , , , , , .

Рівняння (2.10-2.14) вперше були отримані Коші. Вони відіграють важливу роль у теорії пружності.

 


 

Рисунок 2.3. - До рівняння рівноваги моментів сил, діючих на гранях елементарного об’єму.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.007 сек.)