Хвильові рівняння в перших похідних

У роботі О.К.Кондратьєва^* введено поняття оптимального хвильового рівняння (ОХР). Це рівняння, яке описує лінійно-непружне середовище, не містить похідних по часу вище другого порядку, і добре узгоджується у сейсмічному діапазоні частот з експериментальними залежностями фазової швидкості та коефіцієнта поглинання пружних хвиль від частоти.

^*Кондратьев О.К. Отраженные волны в поглощающих

средах. М.: “Недра”, 1983г. - 231 с.

ОХР по числу параметрів (три) реологічної моделі середовища узгоджено з числом параметрів спостереженого хвильового поля, які надійно можна визначити експериментально.

Разом з цим, при виводі ОХР О.К.Кондратьєвим накладається не зовсім обґрунтоване, на наш погляд, обмеження на число коренів для комплексного числа К. Виходячи з поширення двох однакових хвиль з рівною швидкістю, але в різних напрямках при збудженні коливань у внутрішній точці середовища, він приходить до висновку, що ОХР повинно містити гуківське хвильове співвідношення (6.2)

Інакше кажучи, члени ОХР з парними похідними визначають наявність хвильового процесу, а з непарними похідними поля зміщення - дисипацію пружної енергії.

В сейсморозвідці найбільш поширено збудження хвиль на границі пружного півпростору - земної поверхні або у безпосередній близькості до неї. У всякому випадку, сейсморозвідників цікавить хвиля, яка поширюється вниз, тобто хвиля, яка зондує геологічне середовище. Тому нас влаштовують і такі хвильові рівняння, які дають один корінь для хвильового числа К , тобто описують лише одну хвилю, яка поширюється вниз ( в одну сторону від джерела). На можливість використання для аналізу хвильових процесів диференційних рівнянь першого порядку, які дають одне значення К , вказано у роботах Дж. Уізема, який за основу

приймає не хвильове рівняння (6.2), а більш просте

. (6.22)

Тепер, коли хвильовий процес описується першими похідними зміщення, для того, щоб К було комплексним, тобто, щоб , у рівняння (6.22) необхідно добавити дисипативний член у вигляді парної похідної . Таким чином, будемо розглядати хвильове рівняння виду

. (6.23)

Для того, щоб включити в клас (6.23) хвильове рівняння з дисипативним членом, пропорційним зміщенню часток середовища, припустимо .

Основні властивості рівняння (6.23) приведені в таблицях 6.1 та 6.2.

З таблиць видно, що експериментальним даним про фазові швидкості найбільш відповідають моделі 1 та 4, для моделі 2 характерна пропорційність швидкості , для третьої - пропорційність .

Зупинимось більш детально на аналізі 1 та 4 моделей.

Перейдемо від рівняння

(6.24)

до рівняння стану середовища, враховуючи, що , де - градієнт напруження, - щільність середовища, а деформація

(6.25)

Щоб перейти від рівняння стану до рівняння, яке зв’язує напруження та деформацію у явному вигляді, проінтегруємо (6.25) по X і продиференціюємо по t. Беручи до уваги, що

при с =const , а профіль хвилі розгорнутий на 180 у порівнянні з її графіком, отримаємо

(6.26)

або

, (6.26’)

де - модуль пружності, .

При з (6.26) отримаємо

,

тобто залишкова деформація пропорційна коефіцієнту поглинання, швидкості поширення пружної хвилі та інтегралу попередніх деформацій.

Недоліком першої моделі є постійність коефіцієнта поглинання по всьому діапазоні частот при постійному коефіцієнті b, що не узгоджується з експериментальними даними.