АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Розділ 14.3. Точність оцінки. Довірча ймовірність. Довірчий інтервал

Читайте также:
  1. Висновки до 3 розділу
  2. ВІДЦЕНТРОВІ ПИЛЕОСАДНІІ СУСПЕНЗІЙНО- РОЗДІЛЬНІ АПАРАТИ (ЦИКЛОНИ)
  3. Вставка розриву сторінки або розділу
  4. Демультиплексор (роздільник) Demux
  5. Для військових психологів щодо підготовки особового складу підрозділів і частин до участі в бою і проведення психологічної реабілітації військовослужбовців із БПТ
  6. Додаткова література до розділу І
  7. Ефективність системи управління, методичні підходи до її оцінки.
  8. Завдання вирівнювання і інтервалів
  9. ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ І САМОПЕРЕВІРКИ ЗАСВОЄННЯ РОЗДІЛУ «ДИДАКТИКА»
  10. ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ ТА САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ ЗА РОЗДІЛОМ ХІ.
  11. ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ ТА САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ ЗА РОЗДІЛОМ ХІІ.
  12. ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ ТА САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ ЗА РОЗДІЛОМ ХІІІ.

Точковою називається оцінка, що визначається одним числом. Інтервальною називається оцінка, що визначається двома числами – кінцями інтервалу. Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність і надійність оцінок.

Означення: Надійністю (довірчою ймовірністю) параметра за статистичною оцінкою називається ймовірність , з якою виконується нерівність , де - додатнє число, що характеризує точність оцінки

 

.

 

Звичайно надійність оцінки задається наперед числом, близьким до одиниці. Після елементарних перетворень одержуємо

 

.

 

Це співвідношення свідчить, що ймовірність того, що інтервал включає в себе (покриває) невідомий параметр , дорівнює . А сам інтервал називається довірчим.

 

Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання

нормального розподілу

Нехай кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально, причому середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності не відоме. Необхідно оцінити невідоме математичне сподівання за допомогою довірчих інтервалів. За даними вибірки можна побудувати випадкову величину, яка має розподіл Ст’юдента з степенями свободи

 

 

де - вибіркова середня; - виправлене середнє квадратичне відхилення; - обсяг вибірки.

Щільність розподілу Ст’юдента має вигляд

 

, де

 

Ми бачимо, що розподіл Ст’юдента визначається параметром п – обсягом вибірки, що теж саме, що й числом степеней свободи і не залежить від параметрів і .

Знайдемо надійність параметра

 

.

 

Шляхом елементарних перетворень, перейдемо до подвійної нерівності

 

.

 

Користуючись розподілом Ст’юдента, знайдемо довірчий інтервал, що покриває невідомий параметр з надійністю

 

. (14.8)

 

За таблицею критичних точок розподілу Ст’юдента за заданими і , можна знайти .

 

Приклад:

Кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу знайдено середню вибіркову і виправлене середнє квадратичне відхилення Оцінити невідоме математичне сподівання за допомогою довірчого інтервалу з надійністю

 

 

Рішення

 

За таблицею критичних точок розподілу Ст’юдента на перетині числа степеней свободи і (двостороння критична область), можна знайти

Тоді, за формулою (14.8) маємо

 

 

 

Таким чином, з надійністю 0,95 невідомий параметр покриває довірчий інтервал

Довірчий інтервал для оцінки середнього квадратичного відхилення

нормального розподілу

Нехай кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. Необхідно оцінити невідоме генеральне середнє квадратичне відхилення за виправленим середнім квадратичним відхиленням , тобто знайти довірчий інтервал, що покриває параметр з заданою надійністю . Для цього необхідне виконання співвідношення

 

або

.

 

Винесемо за дужки і зробимо заміну , після чого одержимо

 

.

 

Тоді довірчий інтервал можна виразити за формулою

 

. (14.9)

 

На практиці, для знаходження користуються таблицею значень, що наведена нижче. Але формула (14.9) справедлива при .

 

Таблиця значень

0,95 0,99 0,999 0,95 0,99 0,999
  1,37 2,67 5,64   0,37 0,58 0,88
  1,09 2,01 3,88   0,32 0,49 0,73
  0,92 1,62 2,98   0.28 0.43 0,63
  0,80 1,38 2,42   0,26 0,38 0,56
  0,71 1,20 2,06   0.24 0,35 0,50
  0,65 1,08 1,80   0,22 0,32 0,46
  0,59 0,98 1,60   0,21 0,30 0,43
  0,55 0,90 1,45   0,188 0,269 0,38
  0,52 0,83 1,33   0,174 0,245 0.34
  0,48 0,78 1,23   0,161 0.226 0,31
  0,46 0,73 1,15   0,151 0,211 0,29
  0,44 0,70 1,07   0,143 0,198 0,27
  0,42 0,66 1,01   0,115 0,160 0,211
  0,40 0,63 0,96   0,099 0,136 0,185
  0.39 0,60 0,92   0,089 0,120 0,162

 

Якщо , тоді нерівність (14.9) набуде вигляду (враховуємо, що

 

. (14.10)

 

 

Приклад:

Кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу знайдено виправлене середнє квадратичне відхилення . Знайти довірчий інтервал, що покриває генеральне середнє квадратичне відхилення з надійністю 0,95.

 

Рішення

 

За таблицею значень за даними і знайдемо Тоді за формулою (14.9)

,

.

 

Таким чином, довірчий інтервал покриває невідомий параметр генеральної сукупності з надійністю 0,95.

 

 

Приклад:

Кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу знайдено виправлене середнє квадратичне відхилення . Знайти довірчий інтервал, що покриває генеральне середнє квадратичне відхилення з надійністю 0,99.

 

Рішення

 

За таблицею значень за даними і знайдемо Тоді за формулою (14.10)

,

 

.

 

Таким чином, довірчий інтервал покриває невідомий параметр генеральної сукупності з надійністю 0,99.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.012 сек.)