АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Похідна вектор-функції

Читайте также:
  1. Границя вектор-функції
  2. Інтеграл від вектор-функції
  3. Неперервність вектор-функції
  4. Скалярне поле. Похідна за напрямком

Нехай , .

Нехай вектор-функція визначена в деякому околі точки . Похідною векторної функції у точці називається границя відношення приросту функції до відповідного приросту аргументу, коли приріст аргументу наближається до 0: , якщо ця границя існує і скінченна за модулем.

 

Вектор-функція , яка має похідну в точці , називається диференційовною в точці t0 .

 

З означення границі вектор-функції випливає, що

, де , .

Отже, приріст диференційовної в точці вектор-функції можна подати у виді: .

Звідси випливає, що диференційовна в точці вектор-функція є неперервною в цій точці.

Обернене твердження, взагалі кажучи, не є правильним.

 

Диференціалом векторної функції називається головна частина приросту векторної функції: .

 

 

Властивості диференційовних вектор-функцій:

Теорема 4. Нехай векторні функції , , та скалярна функція f(t) визначені на та диференційовні в точці . Тоді в цій точці диференційовні сума та всі можливі добутки їх, причому: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. .

 

Для прикладу наведемо доведення твердження 4.

□ Позначимо , тоді

;

.

Скориставшись неперервністю вектор-функції , умовою диференційовності вектор-функцій , та теоремою 1, перейдемо до границі при в одержаному співвідношенні. В результаті матимемо:

..■

З теореми 4 випливають відповідні властивості диференціалів вектор-функцій. Наприклад:

Похідною другого порядку вектор-функції називається похідна вектор-функції : .

Аналогічно визначаються похідні вектор-функції вищих порядків.

Регулярною вектор-функцією класу називається вектор-функція, яка на області визначення має неперервні похідні до -го порядку включно. Вектор-функція класу =1 називається гладкою.

Позначення: – множина всіх векторних та скалярних функцій, які в кожній точці мають неперервні похідні до -го порядку включно.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)