Расчет симметричных систем

При расчете симметричных систем можно упростить структуру системы канонических уравнений за счет обращения в ноль как коэффициентов d _ij, так и свободных членов D _ip ⁰.

В первом случае соответствующий прием носит название группировки неизвестных, во втором – результат достигается с помощью разложения нагрузки на симметричную и обратносимметричную.

Группировка неизвестных применяется для рам, у которых реакции лишних связей представлены только симметричными неизвестными. Примером служит рама на рис. 4.10, а для выбранной на рис. 4.10, б основной системы, где в канонических уравнениях:

d₁₁ X ₁ + d₁₂ X ₂ + D_{1 p} ⁰ = 0;

d₂₁ X ₁ + d₂₂ X ₂ + D_{2 p} ⁰ = 0;

все коэффициенты отличны от нуля.

Чтобы упростить эту систему, перейдем от неизвестных X ₁ и X ₂ к новым неизвестным X ₁¢ и X ₂¢ по формулам:

X ₁¢ = (X ₁ + X ₂)/2; (4.12)

X ₂¢ = (X ₁ - X ₂)/2;

где обратное преобразование:

X ₁ = X ₁¢+ X ₂¢; (4.13)

X ₂ = X ₁¢- X ₂¢;

имеет наглядный смысл. При этом неизвестные X ₁¢ и X ₂¢ соответствуют новой основной системе (рис. 4.10, в), для которой эпюры `M <sub>1</sub><sup>0</sup>¢ и `M ₂⁰¢ ортогональны (рис. 4.10, г, д), а d₁₂¢ = 0, поэтому соответствующая система канонических уравнений распадается на два независимых уравнения:

d₁₁¢ X ₁¢+ D_{1 p} ⁰¢ = 0,

d₂₂¢ X ₂¢ + D_{2 p} ⁰¢ = 0.

Определив групповые или обобщенные неизвестные X ₁¢и X ₂¢, можно с помощью (4.13) вернуться к старым переменным X ₁ и X ₂.

Рис.4.10

Разложение нагрузки на симметричную и обратносимметричную рассмотрим на следующем примере (рис. 4.11, а), где в соответствии с принципом суперпозиции в такой форме представлена заданная нагрузка (рис. 4.11, б, в). Для выбранной основной системы (рис. 4.11, г) d₁₂ = 0 и расчет от симметричной нагрузки приводит к системе канонических уравнений:

d₁₁ X ₁⁽¹⁾+ D_{1 p} ⁰⁽¹⁾ = 0, (4.14)

d₂₂ X ₂⁽¹⁾ = 0.

При этом D_{2 p} ⁰⁽¹⁾ = (`M <sub>2</sub><sup>0</sup>´ M<sub>p</sub> <sup>0(1)</sup>) = 0 в силу ортогональности обратносимметричной эпюры `M ₂⁰ и симметричной эпюры M_p ⁰⁽¹⁾ от первого загружения (рис. 4.11, б). Поэтому решением (4.14) будет X ₁⁽¹⁾ ¹ 0, X ₂⁽¹⁾ = 0.

Расчет рамы от второго варианта загружения (рис. 4.11, в) приводит к системе канонических уравнений:

d₁₁ X ₁⁽²⁾= 0; (4.15)

d₂₂ X ₂⁽²⁾ + D_{2 p} ⁰⁽²⁾ = 0,

так как в этом случае равен нулю свободный член D_{1 p} ⁰⁽²⁾ = (`M ₁⁰´ M_p ⁰⁽²⁾). Ее решением будет X ₁⁽²⁾ = 0, X ₂⁽²⁾ ¹ 0.

Искомые реакции от заданной первоначальной нагрузки равны сумме соответствующих реакций от каждого варианта загружения:

X ₁ = X ₁⁽¹⁾ + X ₁⁽²⁾ = X ₁⁽¹⁾; (4.16)

X ₂ = X ₂⁽¹⁾ + X ₂⁽²⁾ = X ₂⁽²⁾.

Рис.4.11

Полученный результат можно сформулировать в виде следующей теоремы:

Теорема. В симметричных системах, загруженных симметричной нагрузкой, обратносимметричные неизвестные равны нулю и, наоборот – в симметричных системах, загруженных обратносимметричной нагрузкой равны нулю симметричные неизвестные.

Примечания:

1. Очевидно, что суть рассмотренных методов одинакова: в первом случае суммой симметричных и обратносиметричных сил представляют реакции, во втором – приложенную нагрузку.

2. Рассмотренные приемы расчета удобны для сравнительно простых систем с небольшим числом неизвестных, когда они имеют наглядную интерпретацию. Однако такая идея симметризации неизвестных может быть обобщена на решение произвольных систем алгебраических уравнений.

3. Пример рамы на рис. 4.10, б носит иллюстративный характер – в данном случае решение можно было упростить за счет выбора рациональной основной системы (рис. 4.10, е), для которой d₁₂= (`M <sub>1</sub><sup>0</sup>´ `M ₂⁰) = 0. Отметим, что основная система при этом остается несимметричной.

Поиск по сайту: