АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Энергетическое распределение электронов в кристалле; зоны Бриллюэна

Читайте также:
  1. A) эффективное распределение ресурсов
  2. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЛЕКАРСТВЕННЫХ СРЕДСТВ В ОРГАНИЗМЕ. БИОЛОГИЧЕСКИЕ БАРЬЕРЫ. ДЕПОНИРОВАНИЕ
  3. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УЧЕБНОГО ВРЕМЕНИ ПО СЕМЕСТРАМ, ТЕМАМ И ВИДАМ УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ
  4. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УЧЕБНОГО ВРЕМЕНИ
  5. III. Распределение часов по темам и видам обучения
  6. III. Распределение часов по темам и видам обучения
  7. Анализ факторов, влияющих на распределение доходов населения
  8. Ассиметричное распределение
  9. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.
  10. Бекистана можно провести аналогию с распределением компетен-
  11. Волновая функция электронов в кристалле
  12. Вопрос 1 Равномерное и показательное распределение.

Идеальный кристалл бесконечен, состоит из элементарных ячеек, заполняющих без промежутков все его пространство, и обладает регулярной периодической структурой. Кристаллическая решетка - совокупность точек (узлов), связанных тремя некомпланарными векторами трансляцийa, b, c:

T = n1a + n2b + n3c, (3.1)

где n1, n2, n3 - целые числа.

В частном случае решетка может быть двумерной либо одномерной, характеризуемой двумя либо одним базисным вектором, соответственно. Параллелепипеды (для трехмерной решетки) и параллелограммы (для двумерной), построенные на векторах трансляции образуют элементарную ячейку решетки, причем для удобства используется комбинация наиболее коротких векторов. В ряде случаев целесообразно построение элементарной ячейки таким образом, чтобы она охватывала область пространства, которая была бы ближе к данному узлу, чем к любому другому трансляционно-эквивалентному узлу (ячейка Вигнера-Зейтца) - рис. 3.1.

Для этого необходимо выбрать некоторый узел (далее он считается центральным) и соединить его линиями со всеми соседними узлами. Перпендикулярные плоскости, проведенные через середины соединяющих отрезков, образуют ячейку Вигнера-Зейтца (рис. 3.1). Такая ячейка имеет ту же точечную симметрию, что и решетка Браве кристалла, и, естественно, при трансляции заполняет все пространство кристалла без промежутков.

Рис. 3.1. Ячейка Вигнера-Зейтца для квадратной, треугольной и кубической решеток.

 

Если кристаллическую точечную решетку представить в виде ( - вектора элементарной ячейки, - целые числа ), то обратная решетка будет иметь вид:

, (3.2)

где - целые числа, а векторы находятся из соотношений:

(3.3)

 

Таким образом, векторы - это основные векторы обратной решетки. В соотношения типа (3.3) кристаллографы обычно опускают множитель , но в теории твердого тела он используется по аналогии с множителем при переходе от обычной частоты к круговой ( ).

Переход от кристаллической решетки к обратной имеет достаточно сложный физический смысл – фактически мы переходим к пространству частот (величина a-1 характеризует пространственную частоту решетки).

Таким образом, кристалл может быть охарактеризован частотным параметром (вектором обратной решетки – так называемым k-вектором, равным k = 2π/λ, и обозначающим число волн, укладывающихся на длине 2π, см). Очевидно, что для двух- и трехмерного кристалла пространственные частоты по разным направлениям могут быть различными.



Для рассмотрения состояния электронов в реальном кристалле необходимо найти способ учета его конечных размеров, то есть ввести определенные граничные условия. Чтобы устранить нарушение трансляционной симметрии на краях кристалла и ограничить число структурных единиц в нем можно использовать циклические граничные условия Борна-Кармана. В частности, для ограниченного кристалла в форме параллелепипеда с размерами по осям x, y, z равными, соответственно, Lx, Ly, Lz, составленного из элементарных кубических ячеек можно записать:

Lx = aNx; Ly = aNy; Lz = aNz, (3.4)

где Nx, Ny, Nz - число атомов, укладывающихся на каждом из ребер кристалла. Задавая тождественность волновой функции на противоположных гранях параллелепипеда, получаем граничные условия цикличности Борна-Кармана:

Ψ (x, y, z) = Ψ (x + Lx, y + Ly, z+ Lz). (3.5)

Учитывая, что волновая функция электрона в кристалле имеет вид волны Блоха, для выполнения данных условий цикличности необходимо принять, что:

exp(ikxLx) = exp(ikyLy) = exp(ikzLz) = 1. (3.6)

Такое равенство имеет место при условии, что показатель экспоненты является целым числом, умноженным на 2πi, то есть:

kxLx = 2πn1, kyLy = 2πn2, kzLz = 2πn3, (3.7)

где n1, n2, n3, - целые произвольные числа. Из этого следует, что

kx = 2πn1/Lx, ky = 2πn2/Ly, kz = 2πn3/Lx. (3.8)

Из соотношения (3.8) видно, что компоненты волнового вектора k изменяются не непрерывно, а принимают ряд дискретных значений. Принимая во внимание, что Lx = aNx, можно заключить, что компонента kx имеет Nx значений, соответствующих различным значениям n1, причем оно изменяется в пределах

0 ≤ n1 < Nx или -Nx/2 ≤ n1 < Nx/2. (3.9)

‡агрузка...

Из этих соотношений вытекает, что компоненты вектора k существуют в следующих интервалах:

-π/a ≤ kx < π/a, -π/a ≤ ky < π/a, -π/a ≤ kz < π/a, (3.10)

где kx , ky , kz принимают соответственно Nx, Ny, Nz различных значений.

Таким образом, в рассматриваемой квантовохимической системе содержится всего N = NxNyNz = LxLyLz/a3 различных компонентов вектора k, равное числу элементарных ячеек в кристалле. Это, в принципе, означает, что если каждому значению вектора k будет сопоставлено определенное значение энергии электрона, то в простой энергетической зоне, возникшей из невырожденного атомного уровня, имеется 2N квантовых состояний, и, соответственно N энергетических уровней.

Фактически, компоненты k - вектора kx, ky, kz являются тремя квантовыми числами, а четвертым квантовым числом является спиновое число – sz. Поскольку проекция sz может принимать только два значения +1/2 и -1/2, понятно, что в состоянии с одним набором трех компонентов kx , ky , kz может быть не более двух электронов.

Состояние электрона, свободно движущегося в пространстве, характеризуется энергией E и импульсом P, причем E = P2 / 2m как и в ньютоновской механике.

С другой стороны, длина волны де Бройля равна λ = h / P, где h - постоянная Планка. Учитывая, что P = mv, а k = 2π / λ, получаем, что импульс электрона P = ħk, где ħ = h / 2π, а энергия E = ħ2k2 / 2m.

Для электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, понятие импульса существенно изменяется, поскольку параметры движения становятся сильно зависящими от воздействия периодического потенциала остовных ионов. В связи с этим вводится понятие квазиимпульса p = ħk, который квантован в соответствии с дискретным спектром волнового вектора k.

Таким образом, в энергетической зоне кристалла имеется N энергетических состояний, которым соответствуют значения компонент волнового вектора ki = 2πnj / Li и компонент квазиимпульса pi = 2πħnj / Li , где i = x, y, z, а j = 1, 2, 3.

Для кристалла с простой кубической решеткой достаточно рассматривать изменение компонентов ki и pi в пределах -π/a ≤ ki < π/a и -πħ/a ≤ pi < πħ/a.Этим значениям квазиимпульса в системе координат px, py, pz будет соответствовать некоторая область, построенная вокруг начала координат и содержащая все возможные различные состояния. Эта область называется первой (основной) зоной Бриллюэна. Ее можно также определить как ячейку Вигнера-Зейтца в обратной решетке.

В заключение этого раздела рассмотрим кратко основные принципы расчета электронной структуры твердых тел.

Для решения уравнения Шредингера, описывающего состояние электронов в твердом теле, его можно разложить в ряд по полной системе функций, удовлетворяющих тем же граничным условиям, что и искомое решение, причем в упрощенном варианте можно ограничиться конечным набором этих функций:

. (3.11)

Учитывая, что волновая функция электрона в кристалле (функция Блоха) вблизи атомных остовов ведет себя подобно атомной функции , а на удалении от остовов, как набор плоских волн , для разложения уравнения Шредингера можно использовать как сферические волны , так и плоские волны .

В первом случае методы расчета зонной структуры твердого тела относят к методам ячеек, во втором – к вариационным методам.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.179 сек.)