АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Гармонический осциллятор

Читайте также:
  1. Гармонический осциллятор при произвольном внешнем воздействии
  2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ СТИЛЬ И.С.БАХА
  3. Гармонический язык Рахманинова
  4. Глава 1.СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР)
  5. Затухающий гармонический осциллятор
  6. Квантовый гармонический осциллятор.
  7. Квантовый осциллятор
  8. Консервативный гармонический осциллятор
  9. Осцилляторы
  10. Туннельный эффект. Гармонический осциллятор

Гармоническим осциллятором называется малое колебание периодического движения около устойчивого положения равновесия, отвечающего минимуму потенциальной энергии колеблющейся системы:U(q)→min.

Отклонение от положения равновесия q=q0 приводит к возникновению силы , стремящейся вернуть систему в положение равновесия. q0 – положение равновесия. Разложение в ряд Тейлора в окрестности точки дает:

 

(I.30)

По определению =0 в положении равновесия (точка минимума энергии.)

Выбираем начало отсчета так, что , тогда:

(I.31)

 

Обозначим x = q-q0 – смещение из положения равновесия и определим k как

(I.32)

Тогда:

(I.33)

Кинетическая энергия при замене обобщенной скорости на скорость вдоль координаты х запишется:

(I.34)

 

А функция Лагранжа будет такой:

(I.35)

Находим уравнение Лагранжа для гармонического осциллятора:

(I.36)

 

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет два независимых решения и , так что его общее решение или

 

(I.37)

 

Так как , сравнивая эти два выражения для x, получаем

(I.38)

a – амплитуда колебаний,

– начальная фаза колебаний, зависящая от выбора начала отсчета,

– циклическая частота

, где – частота колебания

(I.39)

То есть частота является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий, она полностью определяется свойствами механической системы как таковой. Найдем, чему равна полная энергия Е классического гармонического осциллятора:

(I.40)

Так как , то:

(I.41)

Таким образом, полная энергия Е классического гармонического осциллятора является величиной, зависящей от его собственной частоты.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)