Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство, принято называть коммутирующими

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Среди всех диагональных матриц с совпадающими элементами на главной диагонали особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается, когда все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей n-ого порядка и обозначается символом E. Вторая матрица получается при всех элементах равных нулю и называется нулевой матрицей n-ого порядка и обозначается символом O. Допустим, что существует произвольная матрица A, тогда

AE = EA = A, AO = OA = O.

Первая из формул характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную то роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул, но и элементарно проверяемое равенство: A + O = O + A = A. Понятие нулевой матрицы можно вводить и не для квадратных матриц.

Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу (4.1). Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение

0 ≤ r(A) ≤ min (m,n).

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

Перестановка двух любых строк (или столбцов),

Умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

Прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Поиск по сайту: