АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Скалярное произведение

Читайте также:
  1. Автор - это гражданин, творческим трудом которого создано произведение.
  2. Векторное произведение.
  3. Воспроизведение.
  4. Договор об отчуждении исключительного права на произведение.
  5. Смешанное произведение.

Скалярное (т.е. числовое) произведение двух геометрических векторов

и определяетсякакпроизведение длин этих векторов и косинуса угла между ними:

= | | × | |×cos j , (3)

где | | и | | - длины (модули, абсолютные величины) векторов, а j - угол между векторами. Скалярное произведение можно выразить через (числовую) проекцию Пр вектора на вектор :

= | | × Пр . (4)

В частности, длина вектора связана со скалярным произведением :

= | | 2 . (5)

Механическое истолкование скалярного произведения : - это работа, которую производит источник силы при перемещении предмета на вектор .

(Например, источники силы трения производят отрицательную работу и, значит,

приобретают энергию - нагреваются; в этом примере cos j < 0 . )

Свойства скалярного произведения: 1) = ; 2) ×(k ) =

=k (k – число) ; 3) × ( + ) = + × .

Свойства 2) и 3) получаются из формулы (4) и соответствующих свойств проекций. Они означают, что при скалярном умножении векторов скобки раскрываются, как при умножении чисел. Например, (2 -3 ) × = 2 × – 3 × .

Из определения (3) легко вывести «таблицу» скалярного умножения ортов , , :

× = × = × = 1 , × = × = × = × = × = × = 0 .

Разлагая векторы и по ортам и используя «таблицу» скалярного умножения ортов, получаем.

Правило. Имеет место алгебраическая формула для скалярного произведения

векторов (x1; y1; z1 ( x2 ; y2 ; z2 ) :

× = x1× x2+ y1× y2 + z1× z2 . (6)

Примененияскалярного произведения в геометрии .

1) Длина вектора ( x; y; z) :

ï ï = ( x2+ y2 + z2) 1 / 2 (7)

( это - следствие формул (5) и (6) ).

2)Расстояние между двумя точками A1 иA2:

ï ï =( (x2- x1)2+( y2- y1)2+(z2- z1)2)1/2. (8)

3)Косинус угла между двумя векторами и :

cos j = × / ê ê× ê ê. (9)

4)Если два (ненулевых) вектора и перпендикулярны (ортогональны),то

× = 0 . И наоборот. (Слово orthogonal переводится как «прямоугольный» ).

Замечание. В задачах, в которых фигурируют только точки и векторы на координатной плоскости Oxy, координата z (равная нулю) не пишется. В этой ситуации применяют формулы, аналогичные (6)-(9). Например, расстояние между двумя точками теперь вычисляется по формуле



| A1A2 |= ï ï =( ( x2 - x1)2 + ( y2- y1 )2 ) 1/ 2 . (10)


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.009 сек.)