 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Позиционные системы счисления. Основные определения
Определение 1. Система счисления или нумерация – это способ записи (обозначения) чисел.
Определение 2. Символы, при помощи которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность – алфавитом системы счисления. Количество цифр, составляющих алфавит, называется его размерностью.
Определение 3. Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от ее положения в записи числа.
В десятичной системе значение числа образуется следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов и все полученные значения складываются.
Например, 4945 = 4 × 1000 + 9 × 100 + 4 × 10 + 5 × 1. Такой способ образования значения числа называется аддитивно-мультипликативным.
Определение 4. Последовательность чисел, каждое из которых задает «вес» соответствующего разряда, называется базисом позиционной системы счисления.
Основное достоинство любой позиционной системы счисления – возможность записи произвольного числа ограниченным количеством символов.
Определение 5. Позиционную систему счисления называют традиционной, если ее базис образуют члены геометрической прогрессии, а значения цифр есть целые неотрицательные числа.
Так, базисы десятичной, двоичной и восьмеричной систем счисления образуют геометрические прогрессии со знаменателями 10, 2 и 8 соответственно. В общем виде базис традиционной системы счисления можно записать так: … p -2, p -1, p 0, p 1, p 2, … pn.
Определение 6. Знаменатель p геометрической прогрессии, члены которой образуют базис традиционной системы счисления, называется основанием этой системы. Традиционные системы счисленияс основанием p иначе называют p-ичными. В p-ичных системах счисления размерность алфавита равна основанию системы счисления.
Так, алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Алфавитом произвольной системы счисления с основанием p служат числа 0, 1, …, p -1, каждое из которых должно быть записано с помощью одного уникального символа, младшей цифрой всегда является 0.
В класс позиционных систем счисления также входят системы, в которых либо базис не является геометрической прогрессией, а цифры есть целые неотрицательные числа, либо базис является геометрической прогрессией, но цифры не являются целыми неотрицательными числами.
К первым можно отнести факториальную и фибоначчиеву системы счисления, ко вторым – уравновешенные системы счисления. Такие системы называются нетрадиционными. Алфавитом фибоначчиевой системы являются цифры 0 и 1, а ее базисом последовательность чисел Фибоначчи 1, 2, 3, 8, 13, 21, 34, 55, ….
Базисом факториальной системы счисления является последовательность 1!, 2!, 3!, …, n!, …. В отношении алфавита этой системы можно сделать замечание: количество цифр, используемых в разряде, увеличивается с ростом разряда.
В общем случае, если система счисления устроена таким образом, что основание как таковое в ней отсутствует, а базис представляет собой последовательность чисел … p 0, p 1, … pn, …, то количество Nk цифр, используемых в k -м разряде, определяется так:
если pk -1 mod pk; в противном случае 
.
Операция «mod» здесь означает целочисленное деление.
Ниже приведена сводная таблица, характеризующая некоторые позиционные системы.
| Система счисления | Основание | Размерность алфавита | Цифры |
| Двоичная | 0, 1 | ||
| Троичная | 0, 1, 2 | ||
| Восьмеричная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | ||
| Шестнадцатеричная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F | ||
| Факториальная | Нет | Увеличивается с ростом номера разряда | 1 разр.: 0, 1 2 разр.: 0, 1, 2 3 разр.: 0, 1, 2, 3… |
| Фибоначчиева | Нет | 0, 1 |
Основанием p-ичной системы счисления может быть любое натуральное число, большее единицы. Системой счисления с минимальным основанием является двоичная система, все числа
в которой записываются с помощью цифр 0 и 1.
Примеры записи некоторых десятичных чисел в различных нетрадиционных позиционных системах счисления приведены
в следующей таблице.
| Десятичная | Факториальная | Фибоначчиева |
1.5.1. Некоторые понятия, вопросы и ответы
1) Какое множество понятий однозначно определяет позиционную систему счисления?
· базис, алфавит, основание
· базис, алфавит
· базис.
Ответ: базис.
Если в качестве цифр в системе счисления используются числа, отличные от целых неотрицательных, то для определения системы счисления необходимо описать еще и алфавит.
2) Какая последовательность может быть использована в качестве базиса позиционной системы счисления?
Ответ: Последовательность чисел может являться базисом позиционной системы счисления только тогда, когда в соответствующей этому базису системе может быть представлено любое число (если система предназначена только для нумерации целых чисел, то любое целое число).
3) Какие символы могут использоваться в качестве цифр системы счисления?
Ответ: Любые символы.
Если основание системы счисления p меньше 10, то для символьного представления в ней, как правило, используются первые p десятичных цифр (от 0 до p -1). Например, в пятеричной системе счисления будут использоваться пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4.
Для 10 < p < 37 в качестве первых десяти цифр также используют их десятичное представление, а для остальных цифр буквы латинского алфавита.
Для систем счисления с основаниями, большими 36, единых правил для формы записи цифр не существует.
Если при описании произвольной p-ичной системы счисления не будет указан вид ее цифр, то принято считать, что первые десять цифр совпадают с десятичными, а следующие 26 – с латинскими буквами. Остальные цифры записываются в виде их десятичных представлений, заключенных в квадратные скобки. Так [50] в системах счисления с основаниями, большими 50, будет обозначать
51-ю по счету от 0 цифру. Максимальную цифру в произвольной
p-ичной системе счисления обозначают [ p -1].
Любое натуральное число можно записать единственным образом, в какой угодно p-ичной системе счисления.
Пример: Десятичное число 14 можно записать:
· в двоичной системе 1112 (14 = 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21);
· в троичной системе 1123 (14 = 1 × 32 +1 × 31 + 2 × 30);
· в четверичной системе 324 (14 = 3 × 41 + 2 × 40);
· в 14-ричной системе 1014 (14 = 1 × 41 + 0 × 40).
В системах счисления с основанием, большим 14, данное число будет представлено одной цифрой (это будет буква латинского алфавита Е или некий другой символ).
Любую правильную дробь можно представить в виде конечной или бесконечной суммы отрицательных степеней любого натурального числа p > 1.
Например:
0,123 = 1 × 10-1 + 2 × 10-2 + 3 × 10-3 = 0,1 + 0,02 + 0,003.
Поиск по сайту: