Data «», 0, 0 data «», 0, 0

Приведем теперь алгоритм и программу решения поставленной задачи в соответствии с выбранным сценарием и рассмотренным выше способом упорядочения массивов методом «пузырька».

При составлении алгоритмов и программы решения этой задачи будем использовать принцип нисходящей разработки «сверху-вниз»: от основного алгоритма и основной части программы к алгоритмам и подпрограммам решения вспомогательных подзадач.

При решении сложных задач существенным становится органи­зация и представление данных: подбор массивов и переменных для размещения и обработки данных в памяти ЭВМ, а при выделении подпрограмм - процедуры доступа к этим данным.

Для размещения исходных данных о товарах в поставленной задаче примем пять массивов: tv(l:N), s(l:N), m(l:N), с (1:N), p(l:N). Общий размер этих массивов ограничим числом N = 200, которое явно выделено в описании массивов с тем, чтобы в дальней­шем его можно было увеличить для большего количества данных без других изменений программы.

алг «выручка и остатки товаров» 'выручка и остатки товаров

N = 100 N = 100

массив tv[1:N],s[1:N],m1l:N] dim tv$(N),s(N),m(N)

массив L[1:N],c[1:N],p[1:N] dim L(N),c(N),p(N)

нач сls

вывод («товары:»)? «товары:»

данные-товаров gosub tovar 'товары

вывод («остатки:»)? «остатки:»

данные-остатков gosub ostatok 'остатки

вывод («-----»)? «-----»

подсчет-выручки gosub vyruch 'выручка

вывод («выручка», S)? «выручка=»;S

вывод («сортировка:»)? «сортировка:»

сортировка-товаров gosub sortdan 'сортировка

кон end

По приведенному алгоритму и основной части программы видно, что последовательность ввода-вывода данных о товарах и резуль­татов обработки полностью соответствует выбранному сценарию. Загрузку исходных данных в выбранные массивы в соответствии с принятым представлением выполнят два следующих вспомогательных алгоритма

алг «данные товаров» tovar: 'данные товаров

нач '

загрузка-товаров restore tovs

от k = 1 до N цикл for k = 1 to N

чmeнue(tv(k),s(k),m(k)) read tv$(k),s(k),m(k)

при tv(k) = «» то if tv$(k) = «» then exit for

вывод (tv(k),s(k),m(k))? tv$(k);s(k);m(k)

кцикл next k

если k< Nmo N:= k-1 if k < N then N = k-1

кон return

Последний условный оператор изменяет верхнюю границу N массивов в том случае, если фактическое число данных меньше числа мест в массивах, размещенных в памяти компьютера.

алг «данные остатков» ostatok: 'данные остатков

нач '

загрузка-остатков restore osts

от k = 1 до N цикл for k = 1 to N

чmeнue(tv(k),c(k),p(k)) read tv$(k),c(k),p(k)

при tv(k) = «» выход if tv$(k) = «» then exit for

вывод (tv(k),c(k),p(k))? tv$(k);c(k);p(k)

кцикл next k

если k < N mo N:= k-1 if k < N then N = k-1

кон return

Подсчет выручки в соответствии с постановкой задачи по данным, введенным в эти массивы, выполнят следующие вспомогательный алгоритм и подпрограмма:

алг «подсчет выручки» vyruch: 'подсчет выручки

нач '

S:= 0 S = 0

от k = 1 до N цикл for k = 1 to N

S:= S+(c(k)-s(k)) *(m(k)-p(k)) S = S+(c(k)-s(k))*(m(k)-p(k))

кцикл next k

кон return

Лемма 3. Конечным результатом выполнения данного вспомога­тельного алгоритма будет сумма

S_N = (с(1) - s(l))×(m(l) - р(1)) +... + (c(N) - s(N))×(m(N) - p(N)).

Доказательство проводится с помощью индуктивных рассужде­ний. Первое присваивание S:= 0 обеспечивает начальное значение суммы S₀ = 0.

О результатах k-го шага выполнения цикла можно сделать индук­тивное утверждение

S_k= S_k-1 + (c(k) - s(k))-(m(k) - p(k)) = (с(1) - s(l))×(m(l) - p(l)) +... + (c(k) - s(k))×(m(k) - p(k)).

Это утверждение доказывается с помощью математической индукции. На его основании можно сделать заключение о том, что конечным результатом выполнения цикла и алгоритма в целом будет сумма

S_N = (с(1) - s(l))×(m(l) - р(1)) +... + (c(N) - s(N))×(m(N) - p(N)).

Что и требовалось доказать.

Для сортировки данных воспользуемся алгоритмом упорядочения чисел по методу «пузырька», предполагая, что исходная и упорядоченная последовательность чисел r₁, r₂,..., r_N будут записаны в мас­сиве x[l:N].

Для формирования результирующих упорядоченных данных ис­пользуется массив индексов L(1:N), в котором будут записаны номера элементов исходной последовательности так, что x(k) = p(L(k)) для всех k = 1,..., N.

алг «сортировка данных» sortdan: 'сортировка данных

массив x[1:N] dim x(N)

нач '

от k = 1 до N цикл for k = 1 to N

L(k) = k L(k) = k

x(k)=p(L(k)) x(k)=p(L(k))

кцикл next k

сортировка-массива gosub sortmas 'сортировка

от k = 1 до N цикл for k = 1 to N

i:= L(k) i = L(k)

вывод (tv(i),c(i),p(i))? tv$(i);c(i);p(i)

кцикл next k

кон return

Модификация алгоритма упорядочения чисел, размещаемых в массиве x[l:N], с учетом перестановок значений в массиве индексов L[1:N] получает следующий вид:

алг «сортировка массива» sortmas: 'сортировка массива

нач '

от k = 1 до N-1 цикл for k = 1 to N-1

xmn:= x(k) xmn = x(k)

imn:= k imn = k

от i = k + 1 до N цикл for i = k + 1 to N

если x(i) < xmn то if x(i) < xmn then

xmn:= x(i) xmn = x(i)

imn:= i imn = i

кесли end if

кцикл next i

Imn:= L(imn) Imn = L(imn)

xmn:= x(imn) xmn = x(imn)

L(imn):= L(k) L(imn) = L(k)

x(imn):= x(k) x(imn) = x(k)

L(k):=Imn L(k) = Imn

x(k):= xmn x(k) = xmn

кцикл next k

кон return

Лемма 4. Результатами выполнения алгоритма сортировки массива будут последовательность чисел, упорядоченная по возрастанию

х(1)' £ х(2)' £... £ x(N)'

и последовательность индексов в массиве L[1:N], удовлетворяющих условиям

x(k)' = p(L(k)) для всех k = 1,.... N.

Доказательство. Первое утверждение об упорядоченности значе­ний х(1)' £ х(2)' £... £ x(N)' массива x[l:N] по завершении алгоритма следует из доказательства правильности алгоритма упорядочения последовательности чисел. Для доказательства второго утверждения рассмотрим результаты перестановок значений элементов:

Imn:= L(imn) Imn = L(imn)

xmn:= x(imn) xmn = x(imn)

L(imn):= L(k) L(imn)' = L(k)

x(imn):= x(k) x(imn)' = x(k)

L(k):= Imn L(k)' = Imn = L(imn)

x(k):= xmn x(k)' = xmn = x(imn)

Перед началом выполнения алгоритма упорядочения массива в алгоритме сортировки данных массив индексов L[1:N] и упорядочи­ваемый массив x[l:N] получают значения, удовлетворяющие следу­ющим соотношениям:

х(i)' = P(L(i) для всех i = 1,..., N.

Покажем, что эти соотношения сохраняются после каждого шага цикла. Действительно, на каждом очередном k-м шаге цикла будут получены следующие результаты:

Imn = L(imn)

xmn = x(imn) == p(L(imn))

L(imn)' = L(k)

x(imn)' = x(k) = p(L(k)) = p(L(imn)')

L(k)' = Imn = L(imn)

x(k)' = xmn = x(imn) = p(L(imn)) = p(L(k)')

Следовательно, после каждого шага цикла для переставленных элементов массивов сохраняются соотношения

x(i)' = p(L(i)) для всех i = 1,..., N.

Что и требовалось доказать.

Утверждение. Конечным результатом выполнения алгоритма и подпрограммы сортировки данных будет список данных, в котором последовательность значений р₁', р₂',..., р_N' будет упорядочена:

p₁' £ р₂' £ … £ p_N'

Доказательство. В соответствии с доказанной выше леммой 4 зна­чения в массиве x[l:N] после выполнения алгоритма упорядочения чисел будут удовлетворять условиям

х(1)' £ х(2)' £... £ x(N)'.

В силу этой же леммы 4 значения индексов в массиве L[1:N] будут удовлетворять соотношениям x[k]' = p(L(k)) для всех k = 1,..., N.

Конечным результатом алгоритма сортировки данных является вывод значений из массива p[l:N] в соответствии с массивом индек­сов L[1:N]. Таким образом, очередные значения последовательности p₁', p₂',... будут равны:

р₁' = p(L(l)) = х(1)',

p₂'= р(L (2)) = х(2)'и т. д.

В силу упорядоченности значений х(1)', х(2)',..., x(N)' получаем, что значения выходной последовательности будут также упорядо­чены:

p₁' £ р₂' £ … £ p_N'

Что и требовалось доказать.

Следовательно, весь комплекс алгоритмов и подпрограмм пол­ностью соответствует поставленной задаче и гарантирует получение правильных результатов, при любых допустимых исходных данных.

Проверка на ЭВМ программы сортировки товаров, составленной таким систематическим образом, при указанных исходных данных дает следующие результаты:

товары:

Поиск по сайту: