АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Числовые характеристики случайных величин

Читайте также:
  1. I. Схема характеристики.
  2. А. Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин.
  3. Акустические колебания, их классификация, характеристики, вредное влияние на организм человека, нормирование.
  4. Амплітудна і фазова частотні характеристики
  5. Антикризисные характеристики управления персоналом
  6. Антропометричні характеристики людини
  7. Антропометричні характеристики людини.
  8. БАЗОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЩЕСТВА
  9. Бюджетна система України: основні характеристики
  10. Вибрация и ее характеристики
  11. Виды адаптации и их основные характеристики
  12. Виды внимания и их сравнительные характеристики

Законы распределения являются наиболее полными харак­теристиками случайных величин, но на практике часто затруд­нительно, а иногда и просто излишне, определять законы рас­пределения. При решении многих задач достаточно знания лишь основных суммарных характеристик случайных величин. К та­ким характеристикам в первую очередь относятся: математи­ческое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

 

 

Математическое ожидание.

Рассмотрим пример: бросают одновременно три игральные кости. Случайная величина Х – сумма выпавших очков (X меняется от 3 до 18). Легко проверить, что 18 очков будут в среднем выпадать реже, чем 15 и значительно реже, чем 12 очков. Если усреднить с некоторым «весом», учитывающим частоту появления всех возможных значений величины X, то получим число, называемое её математическим ожиданием и являющееся «центром» распределения возможных значений рассматриваемой случайной величины.

Итак,математическим ожиданием называют характеристику положения случайной величиныX, которая равна средневзвешенному возможных её значений. Следует подчеркнуть, что математическое ожидание есть число (неслучайная величина) – центр группирования значений случайной величины, или центр рассеивания.

Для дискретной случайной величины математическое ожи­дание вычисляется по формуле:

mx = M(X) = , где .

Задача 22. Найти математическое ожидание выигрыша Х задачи 20.

Решение.

1) Пользуясь полученной при решении задачи 20 таблицей, имеем:

М(Х) = 1000×0,0001+100×0,001+10×0,01+0×0,9889 = 0,3 (руб.) = 30 (коп.)

2) Как нетрудно сообразить, М(Х) = 30 коп. есть «справедливая» цена билета.·

Для непрерывной случайной величины математическое ожи­дание вычисляется по формуле:

mx = M(X) = .

 

Дисперсия.

Рассмотрим две случайные величины, плотно­сти вероятности которых пред­ставлены на рис. 2.

Рис. 2. Графики функций распределения при различных дисперсиях

 

Они име­ют одинаковое математичес­кое ожидание, однако значи­тельные отклонения от центра рассеивания у первой случай­ной величины наблюдаются чаще, чем у второй. В этом слу­чае говорят, что первая случай­ная величина имеет большее рассеивание или размытость, чем вторая. В качестве меры рассеивания значений случайной величи­ны используется дисперсия.




 

Дисперсией называется математи­ческое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Dx = M[(X mx )2].

Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляет­ся по формуле:

Dx = .

Для непрерывной случайной величины дисперсия вычисля­ется по формуле:

Dx = .

Среднеквадратическое отклонение.

Из приведенных формул следует, что размерность диспер­сии есть размерность случайной величины в квадрате. Для прак­тических нужд это не всегда удобно. В этой связи чаще исполь­зуется так называемоесреднеквадратическое отклонение: sx = + .

Задача 23. Пусть закон распределения случайной величины задан таблицей:

X
p 1/4 1/2 1/4

 

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение.

1) М(Х) = 4×(1/4)+10×(1/2)+20×(1/4) = 11

2) Dx

3) sx ·


1 | 2 | 3 | 4 | 5 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.005 сек.)