АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

Читайте также:
  1. I Распад аустенита в изотермических условиях
  2. I. При каких условиях эта психологическая информация может стать психодиагностической?
  3. I. Психологические условия эффективности боевой подготовки.
  4. IV. ТРЕБОВАНИЯ К УЧАСТНИКАМ И ИХ УСЛОВИЯ ДОПУСКА
  5. S-M-N-теорема, приклади її використання
  6. V. Финансовые условия участия в Конкурсе
  7. VI ПРИЧИНЫ, УСЛОВИЯ И ВТОРЖЕНИЕ
  8. А) ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ ВЕРНОЙ ПЕРЕДАЧИ СЛОВ, ОБОЗНАЧАЮЩИХ НАЦИОНАЛЬНО-СПЕЦИФИЧЕСКИЕ РЕАЛИИ
  9. А) Поведение фирмы в условиях совершенной конкуренции
  10. АДАПТАЦИЯ И ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ПРИСПОСОБЛЕНИЯ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ К ЭКСТРЕМАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ СРЕДЫ
  11. Анализ инвестиционного проекта в условиях риска.
  12. Анализ инвестиционных проектов в условиях инфляции

1. Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [ a, b ], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x) ≥ 0.

2. Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [ a, b ], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке, f ' (x) ≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[ a, b ].

Доказательство.

1. Докажем первую часть теоремы. Итак, пусть функция y=f(x) возрастает на [ a, b ]. Зафиксируем на этом отрезке произвольную точку x, придадим ей приращение Δ x. Тогда если Δ x >0, то x<x+ Δ x. Поэтому по определению возрастающей функции f(x)<f(x+ Δ x), то есть f(x+ Δ x) - f(x)> 0. Но тогда и Аналогично, если Δ x< 0, то x>x+ Δ x и значит f(x+ Δ x)-f(x)< 0, а

Переходя в этом равенстве к пределу при Δ x →0, получим , то есть f '(x) ≥0.

2. Докажем вторую часть теоремы. Пусть f '(x)> 0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x 1 и x 2 таких, что x 1 < x 2. Нужно доказать, что f(x 1 )< f(x 2 ). По теореме Лагранжа существует такое число c Î (x 1, x 2 ), что . По условию f '(x)> 0, x 1 – x 2>0Þ , а это и значит, что f(x) – возрастающая функция.

Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.

 

24.


1 | 2 | 3 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)