АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Формула интегрирования по частям

Читайте также:
  1. Барометрическая формула
  2. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.
  3. Визначити енергію вибуху балону. Формула (3)
  4. Внешний фотоэффект и его законы. Формула Эйнштейна для фотоэффекта.
  5. Вопрос 2 Формула апостериорной вероятности Байеса
  6. Вопрос 2 Формула апостериорной вероятности Байеса.
  7. Вопрос 2 Формула апостериорной вероятности Байеса.
  8. Выберем поверхность интегрирования, учитывая симметрию задачи.
  9. Дифракция на трехмерных структурах. Формула Вульфа-Брэггов. Рентгеноструктурный анализ. Понятие о голографии.
  10. Закон постоянства углов кристалла. Формула Вульфа-Брэгга.
  11. Из формулы (8.4) следует формула Байеса
  12. Интегрирование по частям.

Теорема 1. Пусть функции дифференцируемы на , и функция имеет примитивную на . Тогда функция также имеет примитивную на и справедливо равенство

. (1)

Коротко (1) записывается так:

(1′)

При этом точный смысл (1) заключается в следующем: если − примитивная для , то

.

Пример 1. Найти .

Решение. Положим . Тогда (в качестве мы берём наиболее простую функцию, для которой , т. е. не включаем в состав произвольную постоянную), и . Мы свели решение примера к вычислению такого интеграла, где первообразная очевидна: . Следовательно,

.

Пример 2. Найти .

Решение.

.

Пример 3. Найти .

Решение. Пусть – примитивная функции , – примитивная функции . Тогда имеем

,

Следовательно, найдутся постоянные и такие, что

, (2)

. (3)

Подставляя (3) в (2), получаем

,

откуда

,

или

.

Значит, также есть первообразная функции , поэтому

. (4)

. (5)

Пример 4. Найти , где - натуральное число.

Решение. .

 

Пример 5. Найти , где - натуральное число.

Решение. .

Пример 6. Найти , где - натуральное число.

Решение. .

Пример 7. Найти , где - натуральное число.

Решение. .

Примеры 4-7 показывают, что эти интегралы можно найти повторным применением формулы интегрирования по частям. Однако всегда при повторном применении этой формулы нужно следить, чтобы мы не проделали в обратном порядке те выкладки, которые встретились на первом шаге. В противном случае мы придём к ничего не дающему тождеству:

,

где −примитивная для .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)