АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Числовые ряды. Пусть и1, и2, , иn, , где иn= f(n) – бесконечная числовая последовательность

Читайте также:
  1. Вопрос 1 Числовые характеристики случайных величин.
  2. Вопрос 1 Числовые характеристики статистического распределения
  3. Дискретные случайные величины. Числовые характеристики дискретных случайных величин
  4. Дополнительные числовые характеристики СВ.
  5. Стандартные числовые атрибуты
  6. Тезисы лекций. Числовые ряды
  7. Числовые значения и обозначение на чертежах допусков формы и расположения поверхностей
  8. Числовые множества
  9. Числовые характеристики случайных величин
  10. Числовые характеристики случайных величин.

Пусть и1, и2, … , иn, …, где иn= f(n) – бесконечная числовая последовательность. Выражение

 

и1+ и2+ и3 + …+ иn+ …

называется бесконечным числовым рядом, а числа и1, и2 , … , иn членами ряда ; иn = f(n) – называется общим членом. Ряд часто записывают в виде:

Перечислим важнейшие признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд и1+ и2+ и3 + …+ иn+ … сходится, то т.е. при n→∞ предел общего члена сходящегося ряда равен нулю. Таким образом, если то ряд расходится.

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда

 

и1+ и2+ и3 + …+ иn+ … (1)

σ1+ σ2+ σ3 + …+ σn+ …, (2)

 

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. иn≤ σn (n = 1, 2, 3, …). Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

 

Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Признак Коши. Если для ряда (1) существует то этот ряд сходится при С < 1 и расходится при С > 1.

Признак Даламбера . Если для ряда (1) существует то этот ряд сходится при Д <1 и расходится при Д >1.

 

Интегральный признак. Если f(x) при х ≥ 1 – непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд , где иn=f(n), сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл (N ≥1).

 

 

Знакопеременные ряды

 

Ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки, называют знакочередующимися:

 

и1- и2+ и3 – и4+ …+(-1)n+1 иn+ …,

 

где un>0 (n = 1, 2, 3, …).

 

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница).

Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютная величина его членов монотонно убывает, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняется следующее условие:

 

1) и1> и2> и3 > …

и

2)

 

Пример 1. Исследовать сходимость числового ряда;

а)

б)

Решение

а) применим признак Даламбера. Выпишем n-ый и (n + 1) – ый члены ряда:

 



Тогда

и данный ряд сходится.

б) Применим интегральный признак: ; следовательно, - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция при х ≥ 1 и

 

Данный интеграл – сходящийся, поэтому сходится и исследуемый ряд.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.006 сек.)