РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ КОМБИНАЦИОННЫХ СХЕМ

x₂

б) f

x₂

в) x f

 

- функции реализуются в следующей последовательности НЕ, И, ИЛИ.

Исходные данные для расчета могут быть заданы либо в виде функции алгебры логики (ФАЛ), либо в виде логической схемы.

Предположим, что логическая функция задана в алгебраическом виде:

(1)

Используя правила синтеза, построим комбинационную схему на двухвходовых логических элементах:

 

1 3

&

6

x₁

f

&

x₂2 4 5

 

x₃

 

Рис.1

Возможен и обратный вариант. По исходной комбинационной схеме можно определить ФАЛ.

Для анализа комбинационной схемы построим таблицу истинности.

Таблицу истинности можно построить либо непосредственно по логической схеме, либо по логической формуле ФАЛ.

Для этого в логическую формулу функции нужно подставить все возможные значения входных переменных и вычислить значения функции.

Например, для входного набора 001:

x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 1

Функция f вычисляется по формуле (2)

(2)

 

Таблица 1

S	x1	x2	x3	f

 

В таблице 1 приведена таблица истинности для заданной схемы. В столбце f (графа 5) записывается функция, реализующая исправную работу схемы.

Как правило, при расчетах надежности принимается допущение об одиночных константных неисправностях, т.е. считается, что вероятность одновременного появления двух и более неисправностей настолько мала, что ею можно пренебречь при расчетах.

Неисправность логического элемента приводит на выходе элемента к отказам двух видов:

- ложное появление сигнала 1 вместо 0, т.е. на выходе элемента, вне зависимости от состояния входа, постоянно присутствует логическая "1" (неисправность типа , или "const 1");

- ложное появление сигнала 0 вместо 1, т.е. на выходе элемента, вне зависимости от состояния входа, постоянно присутствует логический "0"

(неисправность типа , или "const 0").

Будем обозначать через:

- неисправность i-го логического элемента;

(где d = {0,1}) - неисправность i-го логического элемента типа d. Соответственно, - неисправность i-го логического элемента типа . Наличие в схеме неисправности типа приводит к тому, что схема вместо функции f реализует ошибочную функцию f_i;

f - функция, реализуемая исправной схемой;

f_i - функция, реализуемая неисправной схемой;

- функция, реализуемая схемой при неисправности i-го логического элемента типа d.

Например, пусть в рассматриваемой схеме имеется неисправность - отказ первого элемента типа .

Тогда неисправная схема реализует функцию

(3)

 

Таблица 2

S	x1	x2	x3	f

 

В таблице 2 (графы 6 и 7) - функция, реализуемая схемой при неисправности первого логического элемента типа d. В данном случае, неисправность первого элемента типа (графа 6) и типа (графа 7).

Аналогично, далее рассматриваются неисправности на выходе всех логических элеметов, входящих в схему. Для каждой неиcправности определяется выходная функция, реализуемая схемой при отказе или .

Введем понятие существенной неисправности.

Неисправность n_i называется существенной на входном наборе S_j, если

f_i (S _j) ¹ f (S_j) (4)

Из сравнения столбцов f и (см. Таблицу 2) видно, что работа исправной и неисправной схем отличаются на двух входных наборах S₄ и S₅.

Таким образом, неисправность является существенной только для этих наборов.

Аналогично, неисправность является существенной только набора S₁ .

К отказу логической схемы на данном входном наборе приводят только существенные неисправности.

Так как наборы S_i, подаваемые на вход логической схемы меняются во времени, то возможно два случая:

1. В момент появления n_i неисправности на входе логической схемы имеется набор S_j, для которого данная неисправность является существенной, и поэтому она проявляется немедленно;

2. В момент появления n_i неисправности на входе имеется набор S_j, относительно которого неисправность не будет существенной, и поэтому она проявится только после поступления набора, для которого она будет существенной.

Введем понятие функции ошибки . Эта функция выделяет те наборы, для которых неисправность является существенной.

Рис.2

Представленная формула (5) дает возможность найти входные наборы, на которых неисправность яляется существенной.

Функции ошибки могут быть определены двумя способами:

- по формуле (5);

- по таблице истинности.

Например, в графе 7 и 9 таблицы 3 приведена функция ошибки при неисправности первого элемента соответственно типа и .

Таблица 3

S	x1	x2	x3	f

Анализируя таблицу, можно отметить, что функция, реализуемая исправной схемой, и функция, реализуемая схемой с ошибкой, отличаются для неисправности (первого элемента типа ) на входных наборах 4 и 5, а для неисправности (первого элемента типа ) на входном наборе 1.

Для задания функции ошибки в десятичном виде имеем:

(6)

В алгебраическом выражении эти функции выглядят как:

(7)

Произведя подобные вычисления для сбоев типа и всех шести элементов схемы, получим:

(8)

При расчете надежности следует учитывать, что вероятность отказа элемента зависит не только от характера неисправности - n_i, но и от вероятности появления входных наборов.

Пусть известны вероятности появления входных переменных p₁, p₂, p₃. Это вероятности того, что в момент времени t входная переменная x_j = 1. Соответственно, (1 - p_j) - вероятность того, что x_j = 0.

Например, вероятности появления входных переменных следующие:

p₁ = 0,8 p₂ = 0,5 p₃ = 0,3 (9)

Определим вероятности R_k появления входных наборов.

Появление всех входных наборов составляет полную группу событий, поэтому

(10)

где k – номера входных наборов.

Составим таблицу, отражающую полную группу событий на входе схемы.

Результаты расчета приведены в Таблице 4.

Таблица 4

S	x1	x2	x3	f	Rk

Определим вероятность истинности функции f как сумму вероятностей разрешенных наборов, т.е. таких, на которых функция f равна 1:

(11)

В рассматриваемом случае

(12)

Определим вероятности истинности функций ошибки как условные вероятности того, что на выходе схемы происходит ошибка при наличии сбоя

(13)

где - сумма вероятностей тех наборов, на которых функция .

Для рассматриваемого примера:

(14)

Далее необходимо определить вероятность появления неисправности в момент времени t.

Она определяется по формуле (15).

Это вероятность того, что произойдет неисправность , которая приведет к ошибке на выходе схемы:

(15)

где - вероятность того, что в момент времени t произойдет сбой на выходе i- го элемента типа d.

Соответственно, вероятности и - это вероятности того, что в момент времени t произойдет сбой на выходе i-го элемента типа или .

Допустим, что вероятности сбоев и для всех элементов одинаковые и равны

= = 0,001. (16)

В этом случае:

(17)

Вероятность ошибки на выходе схемы в момент времени t определяется по следующей формуле:

(18)

Для нашего примера

(19)

Соответственно, вероятность отсутствия ошибки на выходе схемы, т.е. вероятность исправной работы схемы равна:

P = 1 - Q (20)

P = 1 – 29,8× 10 ^-4 = 0,99702

Поиск по сайту: