ГОМОМОРФИЗМЫ И ИЗОМОРФИЗМЫ ГРУПП

п.1. Основные понятия. Примеры. Пусть G = (G; *) и G ^¢ = (G ¢; ⊗) -две группы, а * и ⊗ - соответственно бинарные операции на их основных множествах G и G¢.

Под отображением h группы G в группу G ^¢будем понимать отображение h основного множества G группы G в основное множество G ¢ группы G¢. При этом применяется обычная запись

h:G ® G¢или h: G ® G ¢.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.Говорят, что отображение h группы G = (G; *) в группу G¢ = (G ¢; ⊗) сохраняет бинарную операцию * группы G, если выполняется условие

(" g ₁ ,g ₂ Î G)[ h (g ₁ * g ₂) = h (g ₁)⊗ h (g ₂)]. (1)

Условие (1) для случаев, когда бинарные операции * и ⊗ могут быть сложением и умножением, приводится в следующей таблице

Таблица 4.1

Следовательно, для бинарных операций сложения и умножения условие (1) означает, что при отображении h сумма g ₁ + g ₂ и произведение g ₁ × g ₂ любых двух элементов g ₁ и g ₂ группы Gпереходит в сумму h (g ₁) ⊕ h (g ₂)или произведение h (g ₁)⊙ h (g ₂) соответствующих элементов h (g ₁)и h (g ₂) группы G¢.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Гомоморфизмом группы G = (G; *) в группу G¢ = (G ¢; ⊗) называется отображение h: G ® G¢ (h: G ® G¢), сохраняющее бинарную операцию * группы G.

Группы G и G¢называются гомоморфными,если существует гомоморфизм группы G в группу G¢. Запись G ~ G¢означает, что группы Gи G¢ гомоморфны.

Множество всех гомоморфизмов (отображений) группы G в группу G¢обозначается через Hom (G, G¢) или Hom (G, G¢).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.Гомоморфизм ¹⁾ h группы Gв группу G^’ называется мономорфизмом ²⁾ или вложением группы Gв группу G^’, если отображение h является инъективным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.Гомоморфизм h группы Gв группу G^’ называется эпиморфизмом ³⁾, если отображение h является сюръективным.

Эпиморфизм - это "сократимый слева" гомоморфизм, так как для отображения h выполняется условие: h (x ₁) = h (x ₂)Þ x ₁ = x ₂.

Множество всех эпиморфизмов группы Gна группу G^’обозначается через Epi (G, G¢) или Epi (G, G ¢).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.Гомоморфизм h группы Gв себя называется эндоморфизмом ⁴⁾.

Множество всех эндоморфизмов группы G обозначается через End (G) или End (G).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.Гомоморфизм h группы Gв группу G^’называется изоморфизмом ⁵⁾, если отображение h является биективным.

Группы Gи G^’ называются изоморфными, если существует изоморфизм группы Gна группу G^’. Запись G@G ' означает, что группы Gи G^’изоморфны.

Изоморфизм группы Gна себя называется автоморфизмом ⁶⁾.

Множество всех автоморфизмов группы Gна себя обозначается через Aut (G) или Aut (G).

------------------------------------------------------------------------------------

1) Слово " гомоморфизм " - греческое. Термин " гомоморфный " означает в переводе с греческого "подобный по форме (строению, структуре)", так как όμόζозначает "подобный", "одинаковый", "равный", а μορφή - "форма", "образ", "вид", "структура", "строение".

2) Приставка " моно " - греческого происхождения. В переводе с греческого mόνοζ означает " один "," единственный "," единый ".

3) Приставка (предлог) " эпи " - греческого происхождения. В переводе с греческого επι означает " к "," на ", " при "," после "," возле ".

4) Слово " эндоморфизм " - греческое; έϋδονозначает "внутри".

5) Греческое ϊσοζозначает "равный", "одинаковый", "подобный". Термин "изоморфный" означает в переводе с греческого "одинаковый по форме (строению, структуре)". Однако первоначально в этот термин вкладывался другой смысл. Современная терминология утвердилась после основополагающей работы немецкого математика Эмми Амали Нётер (1882 - 1935 г.г.), изданной в 1918 г.

6) Греческое αύτόζозначает "сам".

Из определений 2 и 6 и условия (1) следует, что каждый изоморфизм группы есть гомоморфизм. Но утверждение, что каждый взаимно однозначный гомомофизм есть изоморфизм - в общем случае неверно. Однако, всякий гомоморфизм конечной группы на себя является изоморфизмом.

Понятия гомоморфизма и изоморфизма принадлежат к числу фундаментальных понятий теории групп.

Замечание 1. В пособии Л. Я. Куликова. Алгебра и теория чисел. -М.: Просвещение, 1979, стр. 94 группа определяется как алгебра G = (G; *, ') типа (2,1), для которой выполняются аксиомы:

(1) бинарная операция * ассоциативна, то есть для любых элементов a, b, c из G a * (b * c) = (a * b) * c;

(2) в G имеется правый нейтральный элемент относительно операции *, то есть такой элемент е, что a * e = a для всякого элемента a из G;

(3) для любого элемента a из G a * a^' = e.

Здесь через ' обозначается унарная операция перехода к правому симметричному элементу относительно бинарной операции *.

В соответствии с этим определением группы, понятие гомоморфизма групп (а, следовательно, и остальные понятия) вводится через другие условия, чем условие (1) (см. указанное пособие, стр. 98 - 99).

Пусть G= (G; ×, ^-1) и H= (H; ·, ^-1) - мультипликативные группы. Говорят, что отображение h множества G в H сохраняет главные операции группы G, если выполняются условия:

(1) h (ab) = h (a)· h (b)для любых a, b из G;

(2) h (a ^-1) = (h (a)) ^-1 для любого a из G.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Гомоморфизмом группы Gв (на) группу Hназывается отображение множества G в (на) H, сохраняющее главные операции группы G.

При таком определении гомоморфизма групп имеет место упражнение 3, стр. 93, кроме пунктов (b), (d), которые входят в последнее определение.

Замечание 2. В монографии Б. И Плоткина. Группы автоморфизмов алгебраических систем. - М.: Наука, 1966, стр. 18 - 22 группа рассматривается как алгебра G= (G; *, *^-1, e) типа (2, 1, 0). Поэтому и понятие гомоморфизма групп определяется соответствующим образом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Гомоморфизмом группы G = (G; *, *^-1, e) в группу G' = (G '; ⊗, ⊗^-1, e ') называется отображение h: G ® G', удовлетворяющее условиям:

(1) (" g ₁, g ₂ Î G)[ h (g ₁ * g ₂) = h (g ₁) ⊗ h (g ₂) ];

(2) (" g Î G)[ h (g ^-1) = (h (g))^-1];

(3) h (e) = e '.

Поиск по сайту: