АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Деякі положення теорії ймовірностей

Читайте также:
  1. IV. ДЕЯКІ ІНШІ ОЗНАЧЕННЯ ГРУПИ
  2. А) Передумови квантової теорії
  3. Агальні положення щодо переходу на казначейське обслуговування місцевих бюджетів
  4. Альтернативні теорії вартості
  5. Аналіз фінансового положення компанії
  6. Б) Маркс вважав, що суперечність у трудовій теорії вартості Сміта- Рікардо розв’язується, якщо предметом купівлі-продажу вважати робочу силу, а не працю.
  7. БНМ 2.2.14 Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії газів
  8. Взаємодія теорії та практики
  9. Визначте місце козацької держави у міжнародних відносинах та основні положення її дипломатичної діяльності.
  10. Виникнення економічної теорії та основні етапи розвитку. Сучасні напрямки і школи економічної теорії
  11. Вихідні положення
  12. Внесок Гюстава Лєбона у розвиток теорії натовпу.

 

Щоб відповісти на вищесформовані питання, розглянемо деякі положення теорії ймовірності.

Під імовірністю випадкової події розуміють границю відношення кількості випадків , коли ця подія відбувається, до загальної кількості вимірювань , за умови, що кількість вимірювань прямує до нескінченності:

. (1.5)

Розглянемо закономірності, яким підлягає ймовірність появи виміряних значень фізичної величини. Для цього запишемо виміряні значення фізичної величини у порядку їх зростання. Розіб'ємо весь діапазон виміряних значень на інтервали . Порахуємо, скільки разів виміряна величина потрапляє в i -й інтервал . Потім побудуємо діаграму, яка показує, як часто з'являлися під час вимірювань ті чи інші значення . Будемо відкладати на осі абсцис значення вибраних інтервалів, а на осі ординат – кількість вимірювань , які потрапляють у даний інтервал. Така діаграма (рис. 1.1) називається гістограмою.

Аналізуючи рис. 1.1, можна дійти висновку, що деякі значення виміряної величини з'являються частіше, ніж інші, тобто ймовірність появи різних значень є неоднаковою.

Зрозуміло, що коли загальна кількість вимірювань прямуватиме до нескінченності (), то кількість вимірювань , які потрапляють у i -й інтервал , також будуть прямувати до нескінченності (). Тому більш зручно відкладати вздовж осі ординат не величину , а відношення , яке у випадку, коли дорівнює імовірності того, що значення величини під час вимірювання потрапляють у інтервал .

Рисунок 1.1

 

З іншого боку, зрозуміло, що чим більшою буде ширина інтервалу , тим більшою буде ймовірність того, чи буде виміряна величина перебувати у цьому інтервалі . Використовуючи цю властивість, для характеристики розподілу ймовірностей величини вводять функцію розподілу ймовірностей, яка визначається співвідношенням

. (1.6)

Функція розподілу ймовірностей характеризує, як змінюється ймовірність залежно від вимірюваної величини . Зрозуміло, що вигляд цієї функції буде подібним до рис. 1.1, у якому через зменшення ширини інтервалів до нуля гістограма перетворюється у криву. Типова крива розподілу ймовірностей виміряних значень подана на рис. 1.2.

 

Рисунок 1.2

 

Із визначення (1.6) випливає, що добуток визначає ймовірність того, що значення вимірюваної величини належатиме інтервалу . Ця ймовірність чисельно дорівнює площі заштрихованої на рис. 1.2 фігури. Таким чином, визначаючи відповідну площу під кривою розподілу , знаходимо ймовірність появи вимірюваної величини в інтервалі від до .

Як випливає з рис. 1.2, крива розподілу має чіткий максимум при . Це означає, що при великій кількості вимірювань поява значень, які відповідають величині , має найбільшу ймовірність. Тому , яка відповідає максимальному значенню функції розподілу , називають найбільш імовірним значенням вимірюваної величини . Також із рис. 1.2 випливає, що крива розподілу густини ймовірностей симетрична відносно найбільш імовірного значення вимірюваної величини.

Звідси випливає, що за справжнє значення вимірюваної величини потрібно брати найбільш імовірне значення .

Проводячи експериментальні дослідження різних величин, які мають випадкові похибки, ми будемо отримувати криві функцій розподілу , вигляд яких подібний до кривої, що зображена на рис. 1.2. Виникає питання, яким буде аналітичний вигляд таких кривих? Відповідь на це питання вперше була отримана французьким математиком Муавром у 1733 році. Потім знайдена функція була детально вивчена німецьким математиком Гаусом і отримала назву функції розподілу Гауса. Функція розподілу Гауса має вигляд

, (1.7)

де – стала величина, яка називається дисперсією.

Закон розподілу Гауса (1.7) часто називають законом нормального розподілу. Цим, з одного боку, підкреслюють його універсальність, а з іншого – припускають можливість існування й інших законів розподілу, які відрізняються від нормального.

Таким чином, функція розподілу величин, що мають випадкові похибки, визначається розподілом Гауса (1.7), який, у свою чергу, залежить лише від двох параметрів: – найбільш імовірного значення вимірюваної величини та – дисперсії розподілу. Це означає, що для опису розподілу фізичної величини, яка має випадкові похибки, достатньо визначити найбільш імовірне значення та дисперсію .

 

Перш ніж подати формули, які дозволяють знайти та , дамо декілька визначень. Середнім арифметичним значенням називають величину

, (1.8)

де – значення досліджуваної величини; – загальна кількість вимірювань. Зазначимо, середнє арифметичне значення часто позначається так: , , .

Середньоквадратичною похибкою окремого вимірювання називається величина

. (1.9)

Як з’ясовано у теорії ймовірностей, при нескінченно великій кількості вимірювань середнє арифметичне дорівнює найбільш імовірному значенню, а отже, і справжньому значенню виміряної величини:

, (1.10)


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)