Как набирать греческие буквы (выводятся на экран при выдаче результата)

MAPLE 6 – 11

Математические пакеты

Общие положения.

Команда записывается после приглашения ввода > (в MAPLE 11 не пишется) и должна заканчиваться точкой с запя­той «;» (в MAPLE 11 её можно не писать). Если затем нажать Enter, то команда будет выполнена, и на экране появится результат. Если команда заканчивается двоеточием «:», то после нажатия Enter она выполняется, резуль­тат запоминается, но не пишется на экране. Этот результат можно использовать в дальнейшем.

Результат выполнения предыдущей команды обозначается через «%».

Результат выполнения предпредыдущей команды обозначается через «%%». (возможно %%%)

Если по результату (графику или формуле) щелкнуть правой мышью, то возникнет таблица возможностей: «продифференцировать, построить график, привести подобные» и т.д.

§Вставка приглашения ввода (>) перед исполняемой командой (или после) – клавишами Ctrl+k (или клавишами Ctrl+j), а также командой из МЕНЮ Insert ® Execution Group

¨Удалить исполняемую команду (там, где курсор) – Ctrl+Delete, удалить ВСЁ – Ctrl+A, Delete.

©Вставка выделенного в буфер – ctrl+c; Вставка из буфера – ctrl+v.

ªПеренос (для красоты записи) команды на следующую строку (без исполнения) – Shift+Enter.

При наборе в MAPLE 11 длинного имени команды можно набрать несколько первых букв и затеем нажать Ctrl+Space. В MAPLE 9.5 при наборе возникают всплывающие подсказки.

Справочная система.

>?intro – подробное введение в MAPLE.

>?help – описание синтаксиса, типов данных, функций.

>?inifcns – список всех функций.

>?index[function] – список всех команд

>?index[package] – список всех пакетов.

>?название пакета – содержание данного пакета.

>with(название пакета): – загрузка данного пакета.

>with(название пакета); – загрузка данного пакета и вывод списка команд пакета.

>with(название пакета, название команды этого пакета): – загрузка данной команды пакета.

>unwith(название пакета); – удаление загрузки данного пакета.

По каждой команде:

>?команда – подробная справка о команде с рассмотрением примеров.

>?команда[опция] – подробная справка о команде с данной опцией.

Как набирать греческие буквы (выводятся на экран при выдаче результата)

a – alpha, b – beta, g – gamma, d – delta, e –epsilon, V – zeta, h – eta, q – theta, l – lambda,

m – mu, n – nu, x – xi, p – pi, r – rho, s – sigma, t – tau, j – phi, y – psi, w – omega.

В версиях 9.5–11 эти буквы можно вводить с палитры, расположенной левее рабочего поля.

Числа.

Точные: 4, 5/7, , ln10, sin2, и т.д.

Десятичные (пишутся с точкой!): 3.14159, 56.8, и т.д.

Функции от точных чисел вычисляются точно:

>sqrt(5);

Функции от десятичных чисел вычисляются приближенно:

>sqrt(5.0); 2.236067978

По умолчанию вычисления производятся с ДЕСЯТЬЮ значащими цифрами. Но это число цифр можно задать предварительной командой >Digits: = n;.

Большие числа задаются с множителем 10ⁿ (справа от вводимого числа пишется En)

>234.567 Е12; 2.34567 10¹⁴

Ещё пример:

>exp(100.0);.2688117142 10⁴⁴ .

Задачи из теории чисел.

1) Является ли данное число простым

>isprime(111); false (true)

2) Ближайшее простое число, предшествующее N

>prevprime(N);

3) Ближайшее простое число, следующее за N

>nextprime(N);

4) N-ое простое число

>ithprime(N);

5) Разложение числа на простые множители

>ifactor(111111); (3)(7)(11)(13)(37)

6) Наибольший общий делитель (НОД)

>igcd(12, 18); 6

7) Наименьшее общее кратное (НОК)

>ilcm(12,18,45); 180

8) Наибольшее или наименьшее из данных чисел

>max(a,b,c,d); >min(a,b,c,d);

Другие команды теории чисел находятся в пакете “numtheory”.

Арифметика.

Сложение 2+3, вычитание 2 – 3, умножение 2*3, деление 2/3, возведение в степень 2^3.

Порядок выполнения действий:

действие 1-й очередности – возведение в степень,

действия 2-й очередности – умножение и деление,

действия 3-й очередности – сложение и вычитание.

Пример. >2+3*5^2–7; ответ: 70.

Действия одинаковой очередности выполняются слева направо:

.

Примечание. В MAPLE 11 деление и возведение в степень изображаются в естественном виде.

В MAPLE 11 при возведении в дробную степень показатель можно набирать без скобок.

Действие >a^b^c; не выполняется. Следует расставить скобки: >(a^b)^c; или >a^(b^c);

В MAPLE 11 действие >a^b^c; выполняется как >a^(b^c);

Машинные константы:

Pi (= p = 3,14159…), ехр(1) (= e = 2,7182818…), I (= ), infinity (= +¥), – infinity (= –¥).

Не путать константу Pi и букву pi!!!

Встроенные функции (почти все пишутся с маленькой буквы).

exp(x), ln(x), log10(x), log[n](x), sqrt(x), surd(x,n), abs(x), n!, signum(x),

sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x),

sinh(x), cosh(x), tanh(x), arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x),

Heaviside(x), Dirac(x), floor(x) – целая часть от х, frac(x) – дробная часть от х.

Примечание. arctan(x,y) вычисляется как arctan(x/y).

Список всех встроенных функций можно получить по команде >?inifcns

По каждой функции можно получить справку командой >?функция

Примечание. Если задавать в виде x^(1/n), то он будет вычисляться только для x ³ 0. Поэтому лучше для корня использовать команду surd(x,n).

Функцию типа sin²x нельзя в MAPLE 9.5 задавать командой sin^2(x). Следует писать sin(x)^2. В пакете MAPLE 11 можно писать как sin(x)^2 так и sin^2(x).

Множества (set, порядок элементов не имеет значения) задаются фигурными скобками

>A: = {1,2,3,4,5}; B: = {3,4,5,6,7};

Операции над множествами: объединение АÈВ, пересечение АÇВ, разность А\В

>E: = A union B; E: = {1,2,3,4,5,6,7}.

>C: = A intersect B; C = {3,4,5},

>D: = A minus B; D: = {1,2},

При выдаче на экран элементы множества М упорядочиваются по возрастанию (если они дей­ствительные). По команде >М[n]; можно узнать значение n - го элемента множества М.

Индексные величины (векторы) задаются квадратными скобками: А: = [1,9,3,5].

Такие величины называются списками (list). В них важен порядок элементов. По команде >A[n]; можно узнать значение n - й координаты списка А.

Присвоение (assignment).

Команда «Обозначим через А уравнение ln(2x²+3)=5» имеет вид

>A: = ln(2*x^2+3)=5;

Несколько присвоений можно писать в строчку через точку с запятой или через двоеточие

>x: = t+2; y: = 5: z: = a;

В первом случае присвоение выводится на экран, во втором случае – нет.

Одной из форм присвоения является команда >alias(w=F(x)); «в дальнейшем через w будем обо­значать функцию F(x)».

!!!Присвоение сохраняется до тех пор, пока оно не будет снято

или же не будет заменено другим присвоением!!!

Прежде чем использовать переменную в новой задаче, не забудьте снять с неё присвоение!

Снятие присвоения (unassignment). Используют прямые штрихи.

Если имеется присвоение >x: = 2;, то нельзя решать уравнение командой >solve(2*x+5=0, x);, так как вели­чина х уже определена (она равна 2). Нужно

ЛИБО снять присвоение командой >x:= ; и уже затем решать уравнение.

ЛИБО снять присвоение командой > unassign(); и уже затем решать уравнение.

Примечание. Эта команда удобна для снятия нескольких присвоений: >unassign();

ЛИБО решать данное уравнение, переписав его в виде >solve(2* +5=0, );.

Аналогично команде >unassign(…); действует команда >restart; («начать новую жизнь»). Она очищает внутреннюю память MAPLE и снимает ВСЕ присвоения. Однако эта команда неудобна тем, что она удаляет загрузку всех пакетов. В версиях 9.5 – 11 кнопка restart выведена в меню!

Задание функции.

Функции f(x)=x² +3x, g(x,y)=x²–y³ задаются командами

>f:=x–>x^2–3*x;

>g:=(x,y)–>x^2–y^3;

Чтобы затем производить над этими функциями какие-то действия следует использовать скобки, т.е. писать f(x), g(x,y). Если же имеется присвоение >F:=x*y;, то это не является заданием функции. Это просто обозначение произведения. Нельзя, например, вычислить значение F(3,–5), Для превращения этого присвоения в функцию Н(х,у) нужно выполнить команду

>H:= unapply(F,x,y);

Примечание. В пакете MAPLE 11 функцию можно задавать также командой присвоения

f(x,y):=x+y

При нажатии ENTER появляется диалоговое окно, в котором просят уточнить, является ли эта команда присвоением или же заданием функции.

Кусочно-заданная функция определяется командой

>f:=x–> piecewise(x<1, x^2, 3–x);

Кусочно-заданная функция определяется командой

>f:=x–> piecewise(x<=1, x^2, x<3, 3–x, 4/x);

От таких функций можно находить производную, брать определенный интеграл, строить их графики командами >diff(f(x),x); >int(f(t),t=a..b); >plot(f(z),z=a..b);

При наличии в последней команде опции discont=true графики строятся без вертикальной черты в точках разрыва и даже с указанием значения, которое функция принимает в точке разрыва.

ВНИМАНИЕ. Нельзя задавать функцию через двойное присвоение. Например, так

>a:=sin(x); >f:=x–>a; В этом случае получим f(2)=sinx, f(z)=sinx и т.д.

Задание последовательности. (индекс записывается в квадратных скобках)

Числовая последовательность a_n=ln(2n+3) задается командой

>a[n]: = ln(2*n+3); это не функция, это присвоение. Команда >a[3] даст не ln(9), а просто а₃..

Множество значений этой последовательности можно затем получить командой

>a[n]$n=1..7; Здесь и далее вместо п нельзя использовать другую букву!

График этой последовательности (ломаная линия) строится двумя командами

>with(plots): подгрузка графического пакета.

>listplot([a[n]$n=1..7]); построение графика последовательности для n=1, 2, …, 7.

Можно обойтись без подгрузки графического пакета, используя составную команду

>plots[listplot]([a[n]$n=1..7]);

Предел заданной последовательности находится командой

>limit(a[n],n=infinity);

Операции оценивания > evalf(), evalc(), value()

>evalf() – вычисляет в виде десятичных дробей величины, заданные точно.

>evalf(sqrt(2)); 1,414213562 (десять знаков по умолчанию).

Количество знаков можно изменить, если до вычисления выполнить команду >Digits:=n; либо добавить в команду evalf опцию числа знаков

>evalf(sqrt(2),15); 1,41421356237310 (15 знаков).

Если же аргументы функций заданы в десятичной форме, то оценка происходит автоматически:

>sqrt(2.0); 1.414213562

>sin(1.0);.8414709848

>evalc() – вычисляет в точном виде значения комплексных функций

>arcsin(2); arcsin(2)

>evalc(%); ½ p–I ln(2+ )

>sin(1+I); sin(1+I)

>evalc(%); sin1 cosh1+I cos1 sinh1

>evalf(%); 1.298457582+.6349639150 I

Тот же результат можно получить, задавая аргумент в десятичном виде

>sin(1.0 + I); 1.298457581+.6349639148 I

>value() – вычисляет в точном виде результат ОТЛОЖЕННОЙ (inert form of…) команды.

>Int(sqrt(x),x=1..2); (отложенная команда, пишется с большой буквы)

>value(%); точное значение интеграла

>evalf(%); 1.218951415 десятичное значение интеграла

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Подстановка.

>subs(x=a, f(x)); – подставить х=а в выражение f(x).

>subs(x=a,y=b,f(x,y)); – подставить х=а, y=b в выражение f(x,y).

>F:=x^2+y^2; G:=2*x+3*y; предварительное задание функций

>A:=subs(x=3,y=2, [F,G]); A=[13, 12] результат подстановки

Здесь величина А – это список, т.е. векторная величина. Командами >A[1]; >A[2]; можно вывести на экран значения её элементов.

>B:=subs(x=3,y=2,{F,G}); B={12, 13}

В данном случае В – это множество (порядок не важен). Его элементы упорядочиваются по возрастанию (в комплексном случае элементы печатаются в порядке их вычисления в команде). Элементы множества В выводятся на экран командами >B[1]; >B[2];.

Приведение подобных членов.

>collect(P, Q); – приведение подобных членов в выражении Р по переменной (выражению) Q.

>P: = 2*x^2+3*x*y+4*y^2+5*x+6*y;

>collect(P, x); 2x² + (3y+5)x + 4y²+6y

>collect(P, y); 4y² + (3x+6)y + 2x²+5x

Нахождение в явном виде переменной (функции) из данного уравнения.

>P:= 2*ln(x)*exp(x) –3*exp(y)+7=10*ln(x) – exp(y);

>ln(x)=solve(P, ln(x));

Если уравнение имеет вид Р = 0, то в этом случае ноль можно не писать

>y=solve(2*x*y+3*x+4*y+5, y);

Исключение неизвестной x из системы {f(x,y)=0, g(x,y)=0}

>eliminate({f(x,y),g(x,y)},x); Ответ имеет вид: {x=x(y), P(y)=0}

Выделение частей равенства, выделение числителя и знаменателя.

>lhs(a/b=m/n); a/b выделение левой части равенства

>numer(%); a выделение числителя

>rhs(a/b=m/n); m/n выделение правой части равенства

>denom(%); n выделение знаменателя

Команда >COMBINE();

1) Объединение интегралов и пределов в отложенной форме (Int, Limit) в одно целое:

Пример. Для интегралов допустима только линейная комбинация

>A: = Int(x^2,x=2..5); B: = Int(x^3,x=2..5);

>combine(7*A – 4*B);

Пример. Для пределов допустимы произвольные арифметические операции

>A: = Limit(x^2,x=3): B: = Limit(x^5,x=3): C: = Limit(sin(x),x=3):

>combine(7*A*B – 10*C/B);

2) Опция trig. Преобразование многочлена P(sin x, cos x) в сумму sin(nx), cos(nx).

>combine(sin(x)^3+sin(x)*cos(x)^2+cos(x)^4, trig); sin x + (1/8)cos4x+(1/2)cos2x+3/8

Примечание. В версиях 9.5 – 11 опцию trig можно не писать.

3) Опция ln. Потенцирование (В версиях 9.5 – 11 опцию ln можно не писать).

>combine(2*ln(3)+3*ln(2)–ln(12), ln); ln(6)

>combine(2*ln(x)+3*ln(y)–5*ln(z), ln, symbolic);

4) Опция ехр. Умножение и деление экспонент. (В версиях 9.5-11 опцию exp можно не писать).

>combine(A,exp); e^{2x + 3y – 5z}

Команда >EXPAND(…);

1) Раскрытие всех скобок

>expand((x–1)*(x–2)*(x–3)); x³ – 6x² + 11x – 6

>expand((x–1)*(x–2)/(x–3));

Раскрытие всех скобок кроме одной, указанной в опции

>expand((x+y)*(a+b), x+y); (x+y)a + (x+y)b

>expand((x+y)*(a+b), a+b); (a+b)x + (a+b)y

2) Экспонента от суммы – в произведение или частное

>expand(exp(a – n*b + ln(c)));

3) Сведение тригонометрических выражений к синусам и косинусам простых аргументов

>expand(tan(x – y)*sin(x + y));

>expand(sin(3*x)); 4 sin x cos²x – sin x

Команда разложения на множители >FACTOR().

1) Разложение на множители числителя и знаменателя

>factor((x^2 – 1)/(x^2+x – 6));

2) Разложение на множители с последующим сокращением

>factor((x^3–y^3)/(x^2–y^2));

3) Разложение многочлена на множители с рациональными коэффициентами

>factor(x^4 + 4); (x²–2x+2)(x²+2x+2)

4) Если коэффициенты многочлена содержат радикалы, то команда производит разложение на множители с аналогичными коэффициентами

>factor(x^3+x–3*sqrt(2));

5) Возможные радикалы, которые появятся в разложении, можно задать в виде опций

>factor(x^4 +1, {sqrt(2)});

6) Опции можно задавать в виде корня w многочлена P(x), используя функцию RootOf (P(x))

>alias(w=RootOf(x^2+4*x+1)); w («Пусть w – корень уравнения х²+4х+1=0.»)

>factor(x^2+4*x+1, w); (x – w)(x + w + 4)

7) Если коэффициенты многочлена заданы десятичными дробями, то команда производит разложение на действительные множители с приближенными коэффициентами.

8) При наличии опции complex производится разложение с приближенными комплексными корнями.

Команда >NORMAL();

1) Раскрытие скобок и приведение подобных членов

>normal(x^2+5*x+(2*x–3)*(1–7*x)); –13x² + 28x + 3

Однако в команде >normal((2*x–3)*(1–7*x)); скобки не раскрываются. Здесь нужно использовать команду >expand.

2) Сокращение дробей

>normal((x^2+x–2)/(x^2+2*x–3));

3)Приведение дробей к общему знаменателю

>normal(2*x+3+4/(x–1)+5/(x–2));

Если добавить опцию “expanded”, то будут раскрыты скобки в знаменателе

>normal(2*x+3+4/(x–1)+5/(x–2), expanded);

Команда “normal” работает и в том случае, если все приведенные выше выражения нахо­дятся под знаком какой-либо функции, интеграла или предела!

>normal(Int(1/x+1/(x–1), x));

Команда упрощения >SIMPLIFY();

1) Упрощение числовых и буквенных выражений

>A: =3*(1/4)^(1/2)+5*(1/81)^(1/4);

>simplify(A); 19/6

2) Использование функции предположения assume();

>A: = sqrt(a^2)+sqrt(b^2);

>simplify(A,assume(a>0,b<0)); a~ – b~ (здесь a~ и b~ считаются положительными)

Примечание. В пакете MAPLE 11 опцию assume(a>0,b<0) нужно писать до команды simplify.

3) Упростить выражение F=x²–y² при условиях x=a+b, y=a–b

>simplify(x^2–y^2, {x=a+b, y=a–b}); 4ab

4) Упрощение тригонометрических формул (в версиях 9,5 – 11 опцию trig можно не писать)

>simplify(sin(x)^4–cos(x)^4+cos(2*x), trig); 0

Команда преобразования >CONVERT();

1) Преобразование рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей

>R: = (3*x^3+2*x^2+x)/(x^2–3*x+2);

>convert(R, parfrac, x);

2) Превращение равенства в неравенство и обратно

>convert(a=b, lessthan); a < b

>convert(a=b, lessequal); a £ b

>convert(a<b, equality); a = b (возможны варианты a>b, a<=b, a>=b)

3) Если результат интегрирования содержит непривычные функции arcsinh(x), arctanh(x), то для приве­дения результата к привычному виду можно применить команду >convert(%, ln);

Аналогично, гиперболические функции sinh(x), cosh(x), tanh(x) можно выразить через экспо­ненты командой >convert(%,exp);

4) Превращение периодической десятичной дроби в обыкновенную

>convert(%, rational);

5) Превращение множества (set) >M:={a,b,c}; в список (list) >M:=[a,b,c]; и обратно

>convert(M, list); >convert(M, set);

Полный список опций команды «convert» можно получить по команде >?convert. Затем справку по интересующей нас опции можно получить командой >?convert[опция].

Полиномы

Пусть задан полином >P: = a*x^2+b*x+c: Тогда возможны команды

1) Старший коэффициент >lcoeff(P); a

2) Младший коэффициент >tcoeff(P); c

3) Все коэффициенты >coeffs(P,x); c, b, a

4) Все коэффициенты и соответствующие иксы >coeffs(P, x,’s’); s; c, b, a

1, x, x²

5) Коэффициент при n -ой степени х >coeff(P,x,n); или >coeff(P,x^n);

6) Список слагаемых >convert(P, list); [ax², bx, c]

7) Частное от деления Р на Q >quo(P, Q, x); (остаток не вычисляется)

8) Остаток от от деления Р на Q >rem(P, Q, x);

Поиск по сайту: