АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Локальные и условные экстремумы функций многих переменных

Читайте также:
  1. MS Excel.Текстовые функции, примеры использования текстовых функций.
  2. Аппроксимация аналитически заданных функций
  3. Безусловные рефлексы.
  4. Беспроводные локальные сети
  5. В исчислении доменов областью определения переменных являются не отношения, а домены.
  6. Вопрос 2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
  7. Вопрос 3. Дифференцируемость функции нескольких переменных
  8. Вот - их обиталища необитаемы после них, кроме немногих.
  9. Вставка функций рабочего листа в формулу с помощью Мастера функций.
  10. Выбор зависимых и независимых переменных.
  11. Вычисление пределов функций
  12. Вычисление тригонометрических функций некоторых углов

 

Для исследования функции нескольких пременных на локальный и условный экстремум используется команда из стандартной библиотеки extrema(f,{cond},{x,y,…},'s'), где cond – ограничения для поиска условного экстремума, которые записываются в виде неравенств или равенств. После ограничений в фигурных скобках указываются все переменные, от которых зависит функция f, а затем в кавычках записывается s – имя переменной, которой будут присвоены координаты точек экстремума. Для поиска локального экстремума множество {cond} задается пустым {}.

Отметим, что команда extrema выдает все критические точки, т.е. и те, в которых экстремума нет. Отсеять недающие экстремума критические точки можно с помощью подстановки этих точек в функцию, с использованием команды subs.

Как и для функции одной переменной, наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных можно найти командами

maximize(f,{x1,…,xn},range);

и

minimize(f,{x1,…,xn}, range);

в которых следует указывать после функции в фигурных скобках список всех переменных, от которых она зависит, и интервалы для каждой переменной, задающие область поиска наибольшего и наименьшего значений.

Если требуется найти переменные, при которых линейная функция многих переменных имеет максимум (или минимум) при наложении ограничений, заданных в виде линейных равенств или неравенств нужно использовать симплекс-метод. Для этого необходимо загрузить пакет simplex, а затем воспользоваться командой maximize (или minimize), где в качестве range в фигурных скобках указывают ограничения.

Пакет simplex предназначен для решения задач линейной оптимизации. После его загрузки команды maximize и minimize выдают координаты точек, при которых заданная линейная функция имеет максимум или минимум. Для поиска неотрицательных решений используется команда NONNEGATIVE.

Пример.

Найти экстремумы функции .

[> restart: readlib(extrema):

[> f:=2*x^4+y^4-x^2-2*y^2:

[> extrema(f,{},{x,y},'s');s;

{0, }

{{ x =0, y =0}, { x = y =0}, { x = , y =0}, { x =0, y =1}, { x =0, y =-1}, { x = , y =1}, { x = , y =-1}, { x = , y =1}, { x = , y =-1}}

Получилось два экстремума, поэтому очевидно, что fmax=0 и fmin=-9/8, причем максимум достигается в точке (0,0). Остальные критические точки следует проверить. В силу четности функции по обеим переменным, можно ограничиться проверкой критических точек с положительными координатами.

[> subs([x=1/2,y=1],f);

[> subs([x=1/2,y=0],f);

[> subs([x=0,y=1],f);

-1

Таким образом, функция имеет локальные экстремумы: f max= f (0,0)=0 и f min= f = f =-9/8.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике x = 0, y = 0, x = 1, y = 2.

Замечание: заданную область удобнее записывать в виде неравенств: 0 x 1, 0 y 2.

[> restart: readlib(maximize): readlib(minimize):

[> f:=x^2+2*x*y-4*x+8*y:

[> maximize(f,{x,y},{x=0..1,y=0..2});

[> minimize(f,{x,y},{x=0..1,y=0..2});

-4

Таким образом, функция имеет наибольшее значение fmax=17 и наименьшее значение fmin=-4.

Пример.

Найти условные экстремумы функции f (х, у,z) = xy + yz при x 2 + y 2 = 2, y + z = 2, x > 0, y > 0, z > 0.

[>restart: readlib(extrema): f:=x*y+y*z:

[>assume(x>0);assume(y>0);assume(z>0);

[>simplify(extrema(f,{x^2+y^2=2,y+z=2},{x,y,z},

's'));

{min( RootOf(_Z2+4_Z+1)+ , 0), max( RootOf(_Z2+4_Z+1)+ , 2)}

Несмотря на предварительное использование команды упрощения выражения simplify, полученный результат имеет не аналитический вид, однако это можно исправить, если воспользоваться командой convert.

[> convert(%,radical);

{min , max }

[> convert(s,radical);

{{x~=1,z~=1,y~=1},{x~=-1,z~=1,y~=1},

{x~= ,y~= , z~= }}

В этом случае команда extrema сама определила характер экстремумов, однако, в каких точках функция имеет экстремумы, можно определить подстановкой.

[> subs(s[1],f);

[> subs(s[2],f);

[> subs(s[3],f):convert(%,radical):simplify(%);

Таким образом, функция имеет следующие условные экстремумы: f max = f (1,1,1) = 2 и f min = f (-1,1,1) = 0; третья критическая точка является седловой.

 

 

Пример.

При каких значениях переменных функция f (x, y, z) = - x + 2 y + 3 z имеет максимум, если требуется выполнение условий x + 2 y - 3 z £ 4, 5 x - 6 y + 7 z £ 8, 9 x + 10 z £ 11, а все переменные неотрицательные?

[> restart: with(simplex):


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)