Функции от матриц

Возведение матрицы А в степень n производится командой evalm(A^n). Вычисление матричной экспоненты возможно с помощью команды exponential(A).

Пример.

[> Т:=matrix([[5*a,2*b],[-2*b,5*a]]);

[> exponential(Т);

[> evalm(Т^2);

9.3. Спектральный анализ матрицы

Из курса линейной алгебры известно, что если А х = l х, то вектор х называется собственным вектором матрицы А, а число l – собственным числом, соответствующим данному собственному вектору.

Совокупность всех собственных чисел матрицы называется спектром матрицы. Если в спектре матрицы одно и тоже собственное число встречается k раз, то говорят, что кратность этого собственного числа равна k.

Для нахождения собственных чисел матрицы А используется команда eigenvalues(A). Для нахождения собственных векторов матрицы А используется команда eigenvectors(A). В результате выполнения этих команд будут получены собственные числа, их кратность и соответствующие им собственные векторы.

Пример.

Найти для матрицы три собственных вектора: , отвечающий собственному числу кратности 1, , отвечающий собственному числу кратности 1, , отвечающий собственному числу кратности 1.

[> A:=matrix([[3,-1,1],[-1,5,-1],[1,-1,3]]):

[> eigenvectors(A);

[2,1,{[-1,0,1]}], [3,1,{[1,1,1]}],

[6,1,{[1,-2,1]}]

В строке вывода перечислены в квадратных скобках собственное число, его кратность и соответствующий собственный вектор в фигурных скобках, затем следующие наборы таких же данных.

Для вычисления характеристического многочлена матрицы A используется команда charpoly(A,lambda).

Минимальный многочлен (делитель) матрицы А можно найти с помощью команды minpoly(A,lambda).

Привести матрицу А к нормальной форме Жордана можно командой jordan(A).

К треугольному виду матрицу А можно привести тремя способами:

1) команда gausselim(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса;

2) команда ffgausselim(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса без деления. Эта команда предпочтительней для работы с символьными матрицами, так как не производит нормировку элементов и исключает возможные ошибки, связанные с делением на нуль;

3) команда gaussjord(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса–Жордана.

Характеристическую матрицу можно вычислить командой charmat(A,lambda).