Волновая функция. Уравнение Шредингера

Так как распространение волны описывается волновым уравнением, то напрашивается предположение о наличии такого уравнения и при движении микрочастиц. Это уравнение было найдено впервые в 1926 году австрийским физиком Э. Шредингером и носит его имя (Нобелевская премия 1933 года). Подобно уравнению динамики Ньютона оно не выводится, а представляет собой обобщение большого числа опытных данных.

Решением уравнения Шредингера является функция Y(x,y,z,t), которая называется волновой и характеризует волну де Бройля. Было установлено, что уравнение Шредингера удовлетворяется только комплексными волновыми функциями, поэтому сама волновая функция Y физического смысла не имеет. Он возникает, если умножить Y на комплексно сопряжённую с ней функцию Y*(x,y,z,t). В этом случае имеем так называемую плотность вероятности

YY*=½Y½² (2.10)

нахождения частицы в соответствующем месте пространства (вероятность, отнесённая к единице объёма) в момент времени t. Если нас интересует вероятность обнаружения микрочастицы в данный момент времени в элементе объёма dV, взятого вокруг определённой точки пространства, то запишем

dW=YY*dV. (2.11)

Если микрочастица определённо находится в известном объёме V (вероятность достоверного события), то

. (2.12)

Это так называемое условие нормировки, то есть добавочное условие, налагаемое на функцию Y.

В соответствии с вероятностным смыслом волновой функции на неё можно наложить ещё ряд ограничений. Волновая функция должна быть непрерывной и иметь непрерывную первую производную, кроме того, она должна быть однозначной и конечной во всех точках пространства.

Запишем теперь уравнение Шредингера в общем виде (для нерелятивистской области скоростей):

, (2.13)

где i = — мнимая единица, m — масса частицы, U(x,y,z,t) — функция её потенциальной энергии в поле внешних сил и h = 2p×ħ.

Рассматривая для простоты одномерный случай при стационарности поля внешних сил () имеем:

. (2.14)

Зададим определённый вид волновой функции в виде произведения, в котором каждый множитель зависит только от x и t

Y(x,t)=j(t)×y(x). (2.15)

Подставляем Y(x,t) в уравнение (2.14) и разделим его обе части на j(t)y(x):

. (2.16)

Левая часть этого равенства является функцией t, а правая только x. Они могут быть равны друг другу только при равенстве одной и той же постоянной величине -E. Из соображений размерности видно, что это энергия. При этом речь идёт о полной энергии, так как только она остаётся всегда постоянной в механике.

Приравняем к -E сначала левую часть уравнения (2.16):

, (2.17)

решив его получим гармоническую функцию

j = j₀×e^-iwt, (2.18)

где , а j₀ — значение j при t=0.

Приравняв правую часть уравнения (2.16) к -E, получаем так называемое уравнение Шредингера для стационарных состояний:

. (2.19)

В релятивистской области скоростей уравнение Шредингера заменяется уравнением Дирака (Нобелевская премия 1933 года), которое является частью принципиально более сложной теории.

Поиск по сайту: