АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Уравнение Шредингера для водородоподобного атома

Читайте также:
  1. А18. Физика атома. 2012 год
  2. Базовые понятия реляционной модели данных. Ключи. Неопределенные значения. Ссылочная целостность и способы ее поддержания. Атомарность атрибутов и 1НФ.
  3. БНМ 6.2.5. Склад ядра атома
  4. Боровская теория атома.
  5. Боровская теория атома.
  6. Бюджетное ограничение и его уравнение. Наклон бюджетной линии, факторы её сдвига.
  7. Валентность определяется как число электронных пар, которыми данный атом связан с другими атомами.
  8. Волновая функция. Уравнение Шредингера
  9. Волновое уравнение
  10. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
  11. Движение тела с переменной массой. Реактивное движение. Уравнение Мещерского. Уравнение Циолковского.
  12. Дефект массы - уменьшение массы атома по сравнению с суммарной массой всех отдельно взятых составляющих его элементарных частиц, обусловленное энергией их связи в атоме.
 

Водородоподобным называется атом, у которого рассматривается взаимодействие ядра с одним конкретным электроном.

Энергия атомов, находящихся в основном состоянии, со временем не меняется, поэтому поведение электронов в атоме можно описывать уравнением Шредингера для стационарных состояний. При этом, поскольку атом - сферическое образование, удобно записывать это уравнение в сферической системе координат. Основные представления о сферической системе координат дает рис.4.5.

В данном случае r - радиус-вектор, характеризующий искомую точку N. Положение этой точки задается тремя параметрами:

.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет следующий вид:

, (4.8)

где потенциальная энергия электрона (z — заряд ядра), а D в нашем случае оператор Лапласа в сферической системе координат.

Раскрывая уравнение (4.8) имеем:

. (4.9)

В общем случае уравнение (4.9) есть не что иное, как известное в математике трехмерное дифференциальное уравнение Гельмгольца

, (4.10)

которое можно решить методом разделения переменных (с подобной ситуацией мы уже сталкивались в лекции № 2).

В этом случае допускаем, что y имеет вид:

. (4.11)

Подробное решение уравнения (4.9) рассмотрим на практических занятиях (см. также пособие: Чертов А.Г., Воробьев А.А. “Задачник по физике” М., ВШ., 1988 - задачи № 47.1, 47.13).

Оказывается, что образующиеся обыкновенные дифференциальные уравнения для каждой переменной r, q и j имеют решения, если энергия электрона, связанного с ядром, принимает дискретные значения

, (4.12)

где n= 1, 2, 3,..., а l= 0, 1, 2,..., n-1 и m = -l, -l+1,..., -1, 0, 1 ,..., l-1, l (всего 2l+ 1 значений). Заметим, что уравнение (4.12) было получено нами ранее из теории Бора.

Таким образом, в целом решением уравнения Шредингера в сферической системе координат является волновая функция , зависящая от квантовых чисел n, l, m.

Радиальная функция Rn,l(r) имеет следующий вид:

. (4.13)

Для атома водорода, находящегося в основном состоянии (n= 1), g(r) = const = C, а b имеет смысл радиуса первой боровской орбиты

= 5,29.10-9 см (4.14)

Согласно (2.11) вероятность обнаружить частицу в элементе объема dV равна

, (4.15)

откуда, с учетом того, что при n= 1 волновая функция y не зависит от j и q, запишем вероятность нахождения электрона в объеме шарового слоя с радиусами r и r+dr как

(4.16)

или

. (4.17)

В этом случае радиальная плотность вероятности r(r) определяется выражением вида:

, (4.18)

которому соответствует рис.4.6.

Таким образом, с квантовомеханической точки зрения радиус первой боровской орбиты имеет смысл расстояния от ядра, на котором плотность вероятности найти частицу имеет наибольшее значение.

Как показывают детальные расчеты для водородоподобных атомов волновые функции y200, y300 и т.д. (l= 0) зависят только от r, и плотность электронного облака вокруг ядра имеет сферическую симметрию. В других случаях, например, при l= 1, функция y зависит от углов q и j, и сферическая симметрия электронного облака нарушается, оно приобретает вид своеобразных гантелей.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)