Функция распределения Ферми-Дирака

Рассмотрим идеальный электронный газ (по аналогии мы рассматривали идеальный газ молекул). Для такого коллектива частиц очень важно определить количество частиц dN(E), обладающих энергией в интервале от E до E+dE:

dN(E)=f(E)Z(E)=f(E)g(E)dE, (7.1)

где f (E) - функция распределения, которая представляет собой вероятность того, что квантовое состояние в данных условиях занято микрочастицей. Для вырожденного идеального газа фермионов функция распределения была впервые получена Ферми и Дираком, носит их имя и имеет следующий вид:

, (7.2)

где m - химический потенциал.

Химический потенциал - это изменение внутренней энергии системы при изменении числа частиц определенного сорта на бесконечно малую величину(на одну) при постоянстве энтропии, объема и числа частиц всех других типов.

Рассмотрим для примера металл, находящийся при температуре T=0K (Рис. 7.1). Металл для свободных электронов представляет собой своеобразный потенциальный ящик, выход из которого требует работы по преодолению сил связи, удерживающих электроны в металле.

Если бы электроны не подчинялись принципу запрета Паули, то при Т=0K они бы скопились на дне потенциального ящика. Являясь же фермионами, они последовательно занимают все состояния, начиная с наинизшего, отвечающего дну ящика.

Если в металле имеется N свободных электронов, то последним заполненным окажется энергетический уровень с номером N/2 (на каждом уровне могут размещатся только два электрона с противоположными спинами). Этот уровень получил название уровень Ферми, а энергия ему соответствующая называется энергией Ферми (E_F). Таким образом, в наших условиях энергия Ферми представляет собой максимальную кинетическую энергию E_F, которой обладает электрон в металле при Т=0К.

В схеме, показанной на рис. 7.1 важно договориться о начале отсчета. Иногда за нулевой уровень отсчета энергии принимают энергию покоящегося электрона, вышедшего из металла и находящегося вне его полевого воздействия. Химический потенциал m для вырожденного газа нейтральных частиц положителен и отсчитывается от нулевой точки на шкале энергии вверх. В случае коллектива электронов, который мы рассматриваем, в уравнении (7.2) речь идет об электрохимическом потенциале , который с учетом наличия внутреннего электростатического потенциала j принимает отрицательные значения.

Для того, что бы не усложнять ситуацию, в физике твердого тела энергия обычно отсчитывается от дна потенциального ящика, и положительная энергия E_F имеет в этом случае смысл химического потенциала. В этом варианте уравнение (7.2) приобретает следующий вид:

. (7.3)

При Т=0К все состояния с энергией заняты электронами, а состояния с энергией - свободны.

Иначе

что просматривается и из соотношения (7.3). График функции для этого случая показан на рис.7.2. При и Т>0 функция независимо от значения температуры. Таким образом, со статистической точки зрения уровень Ферми представляет собой энергетический уровень, вероятность заполнения которого при любой температуре равна .

При Т>0K часть электронов за счет теплового движения сможет перейти в состояния с и, соответственно, такая же часть состояний, расположенных ниже уровня Ферми, окажется свободной (происходит “размывание” распределения на глубину kT, заштрихованные площади равны, рис.7.2).

Поиск по сайту: