АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Дифференциальные уравнения первого порядка

Читайте также:
  1. II. Государственные преступники первого разряда, осуждаемые к смертной казни отсечением головы.
  2. Абдель дал мне знак поторопиться — казалось, ему хочется быстрее покинуть это место. Самия Шарифф Мой отец заплатил за билеты первого класса.
  3. Анализ общего решения дифференциального уравнения изгиба балки на упругом основании
  4. Блок Первого заместителя генерального директора по производству - Главного инженера
  5. Борьба за Лидерство. Укрепление законности и правопорядка 1953-1964 года (Хрущевский период).
  6. В виде уравнения характеристики крупности.
  7. В конце первого круга Де Витт вынужден был устроить небольшой привал. И здесь по обе стороны путники увидели первые статуи Звездных капитанов.
  8. В результате травмы первого пальца кисти в области дистальной фаланги возник воспалительный процесс, который получил тенденцию к распространению.
  9. В. Рост овоцитов I порядка
  10. Важность и необходимость воссоединения с собственным ребёнком. Импринтинг. Участие всей семьи в родах. Участие мужа и старших детей. Важность первого кормления.
  11. Влюбился с первого взгляда.
  12. Во время первого кормления у новорожденного ребенка отметили вытекание молока из носа. При обследовании обнаружили расположенную по срединной линии щель твердого неба.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Любое дифференциальное уравнение вида φ(x) dx = ψ(y) dy называется уравнением с разделенными переменными.

Уравнение, которое приводится к виду φ(x) dx = ψ(y) dy, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Приведем его к виду φ(x) dx = ψ(y) dy:

Если равны дифференциалы, то равны неопределенные интегралы . Отсюда получаем – общий интеграл и у = Сх – общее решение.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение (х2 – 1)у/ + 2ху2 = 0 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 1.

Решение. (х2 – 1)dy = - 2ху2 dx

.

Таким образом, получаем общий интеграл у() = 1.

Подставляем начальное условие у(0) = 1: 1(0 + С) = 1 С = 1.

Отсюда получаем частный интеграл у() = 1.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Функция f(x, y) называется однородной функцией m-го измерения, если f(λx, λy) = .

Дифференциальное уравнение вида

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,

где P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения, называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Уравнение P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 можно привести к виду у/ = f(x, y), где f(x, y) – однородная функция нулевого измерения.

С помощью замены y = ux, где u – новая неизвестная функция, уравнение P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 3.

Решение. Так как является однородным уравнением. Сделав замену y = ux, получим

 

Линейные уравнения первого порядка.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида a1(x)y/ + a0(x)y = b(x) или y/ + p(x)y = q(x).

Уравнение вида y/ + p(x)y = уnq(x), где n ≠ 0, n ≠ 1, называется уравнением Бернулли.

Для решения линейного уравнения можно применить подстановку

y = uv,

y/ = u/v + uv/,

где u и v – функции от х. Тогда уравнение y/ + p(x)y = q(x) примет вид

u/ + p(x)uv + uv/ = q(x),

u/ + (p(x)uv + uv/) = q(x),

u/ + u(p(x)v + v/) = q(x).

Если потребовать, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. p(x)v +v/ = 0, то из этого уравнения можно найти v, затем найдем u, а, следовательно, из y = uv найдем у.

Пример 4. .

Решение. Это линейного уравнение первого порядка, где p(x) = , q(x) = . Применяем подстановку y = uv, y/ = u/v + uv/, получаем

u/v + uv/ uv = ,

u/v + (uv/ uv) = ,

u/v + u(v/ v) = .

Приравниваем к нулю выражение в скобках, находим функцию v:

v/ v = 0 v/ v v ln = 2ln v = x2.

Пример 5.

Решение. Сделав замену y = uv, y/ = u/v + uv/, получим u/v + uv/ =

Сгруппируем вторе слагаемое с третьим: u/v + u(v/ )= .

Приравнивая к нулю выражение в скобках, находим функцию v:

v/ = 0 ln = 2ln .

Подставив v в u/v + u(v/ )= , находим u:

.

Отсюда .

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)