Идеальная теоретическая модель

УПРУГИЕ И НЕУПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ ЗЕМЛИ

Механические свойства вещества Земли отличаются сложностью и в известной мере противоречивостью. Например, вещество верхней мантии Земли реагирует на внешние нагрузки достаточной длительности и масштабов почти как вязкая жидкость. Вместе с тем даже в слое низких скоростей достаточно хорошо распространяются все виды волн, характерных для упругих сред.

В этом плане учеными-геологами утверждается, что даже простое рассмотрение особенностей деформаций горных пород при геологических процессах создаёт огромные трудности при попытках их объяснения. Возникает сочетание таких свойств, как хрупкость и текучесть у одной и той же породы, как способность пород, находящихся в твёрдом состоянии, испытывать огромные необратимые деформации течения. Это касается всех типов пород – осадочных, изверженных, метаморфических. Вместе с тем в тех же породах эти деформации переходят в разрывы, разломы (Белоусов, 1962, Bucher, 1939).

В итоге, если на Землю воздействуют механические колебания (напряжения) с периодом от долей секунд до суток и более, то Земля ведёт себя как идеально упругое тело, если же воздействие на Землю длится от тысяч лет до десятков тысячелетий, то Земля ведёт себя как вязкая жидкость.

Понятие об агрегатном состоянии

Как минералы, так и горные породы определяются структурной решеткой. В качестве структурных элементов горных пород можно рассматривать кристаллы (в случае кристаллических пород) и обломки (в случае обломочных пород), объединённые общим наименованием зерен или гранул. Для структуры горной породы, так же как и для структуры любого кристалла, характерна периодичность, т.е. неизменная повторяемость в пределах области распространения некоторой элементарной группы структурных элементов. Такая группа структурных элементов называется агрегатом. Например, для гранита агрегатом является элементарная группа, включающая все характерные для гранита породообразующие минералы, а для мономинерального равномерно-зернистого песчаника – одно песчаное зерно, с окружающим его цементом.

Процессы упругой деформации и описывающая их

идеальная теоретическая модель

Если в материальной среде протекают колебательные процессы и если отсутствуют потери энергии колебаний или энергия деформаций в плоской волне не меняется со временем, то среду называют идеально упругой и подчиняющейся закону Гука.

Изучение распространения волн в такой среде основывается на анализе соотношений между смещениями и силами, возникающими в среде. Введём обозначения для вектора смещения частицы U (x, y, z, t) его проекций на оси координат:

U_x = u; U_y = v; U_z = w

Деформация среды в каждой точке определяется шестью независимыми величинами, образующими симметричный тензор второго ранга:

где e_xx, e_yy, e_zz - относительные растяжения (сжатия) по направлениям координатных осей: e_xx = ∂u/ ∂x, e_yy = ∂v/ ∂y, e_zz = ∂w/ ∂z

e_xy, e_yz, e_yx и т.д. – относительные сдвиги, характеризующие изменения углов в среде, которые также выражаются через смещения:

e_xy = e_yx = ∂u/∂y + ∂v/∂x, e_xz = e_zx = ∂u/∂z + ∂w/∂x, e _yz = e_zy = ∂v/∂z + ∂w/∂y.

При деформации среды возникают упругие силы, стремящиеся вернуть среду в исходное состояние. Для количественной характеристики таких воздействий вводят понятие напряжения, которое представляет собой отношение упругой силы, действующей на малый участок поверхности, к площади этого участка. В каждой точке напряжение, аналогично деформации, определяется шестью независимыми компонентами, образующими также симметричный тензор второго ранга:

где τ_xx, τ_yy, τ_zz – нормальные напряжения, т.е. силы, действующие по нормали к единичным площадкам, перпендикулярным к осям x, y, z.

τ_xy, τ_xz, τ_yz и т.д. – касательные (сдвиговые, тангенциальные) напряжения.

В жидкостях и газах сдвиговые компоненты не существуют, а нормальные компоненты равны друг другу и представляют собой давление.

При малых деформациях в первом приближении справедлив закон Гука, согласно которому компоненты напряжения пропорциональны компонентам деформаций, т.е. существуют линейные зависимости вида:

τ_xx = c₁₁e_xx + c₁₂ e_yy + c₁₃ e_zz + c₁₄ e_xy + c₁₅ e_xz + c₁₆ e_yz

τ_yy = c₂₁e_xx + c₂₂ e_yy + c₂₃ e_zz + c₂₄ e_xy + c₂₅ e_xz + c₂₆ e_yz

τ_zz = c₃₁e_xx + c₃₂ e_yy + c₃₃ e_zz + c₃₄ e_xy + c₃₅ e_xz + c₃₆ e_yz

Здесь величины c_ik, независимые от величин деформаций и напряжений, называют модулями упругости среды.

Для изотропной среды, где модули упругости в каждой точке не зависят от направления смещения, в соотношениях напряжений и деформаций участвуют только два модуля. В этом случае закон Гука записывается так:

τ_xx = λ (e_xx + e_yy + e_zz) + 2μe_xx; τ_xy = μe_xy;

τ_yy = λ (e_xx + e_yy + e_zz) + 2μe_yy; τ_yz = μe_yz;

τ_zz = λ (e_xx + e_yy + e_zz) + 2μe_zz; τ_xz = μe_xz;

где λ и μ – коэффициенты Ламе. Они полностью характеризуют упругие свойства изотропной среды, однородной, если эти коэффициенты постоянны во всех точках, и неоднородной, если они зависят от координат. Среды, для которых выполняется закон Гука, являются линейными, в них справедлив принцип суперпозиции.

Уравнение движения среды в случае воздействия на неё плоской продольной волны с произвольной формой колебания записывается так:

E·(∂²U/∂x²) = r·(∂²U/(∂t²),

где Е – модуль Юнга, ρ – плотность среды.

Теоретическое изучение механических колебательных движений в средах, состоящих из изотропных идеально-упругих однородных пластов, обеспечивает приемлемую точность для большинства практических целей.

Для характеристики свойств таких сред используют пары упругих констант, имеющих наглядную физическую интерпретацию: скорости V_p и V_s, модуль Юнга и коэффициент Пуассона (E и σ), модуль всестороннего сжатия и модуль сдвига (K и G).

Модуль Юнга (Е) – коэффициент пропорциональности между напряжением и продольной деформацией однородного упругого стержня.

Коэффициент Пуассона ( σ ) – отношение поперечной деформации стержня к продольной.

Модуль всестороннего сжатия (К) – коэффициент пропорциональности между давлением и относительным уменьшением объёма.

Модуль сдвига ( G, μ ) – коэффициент пропорциональности между касательным напряжением и деформацией сдвига.

Поиск по сайту: