АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Формулы полной вероятности и Бейеса

Читайте также:
  1. Алгоритм получения рейтинговой оценки также может быть модифицирован. Вместо формулы, рассмотренной выше, можно использовать одну из нижеследующих
  2. Вероятности переходов
  3. Вероятности события в независимых испытаниях.
  4. Все формулы начинаются со знака равенства.
  5. Глава 7. Заклинания и формулы процветания
  6. Две формулы Брехта
  7. Дзен делания чего-либо - это умение действовать с полной концентрацией разума, спокойствием и простотой ума, которые приносят просветление, а через просветление - счастье.
  8. Диаграмма с полной нерастворимостью компонентов в твердом состоянии
  9. Друзья, всем этим вы в полной мере можете насладиться в течение двух недель,
  10. ЗАДАНИЕ № 2. Теорема полной вероятности события.
  11. К вопросу о «полной безопасности» льна и хлопка
  12. К Моцарту надлежало явиться при полной параде.

 

Если событие А может наступить только при появлении одного из попарно несовместных событий (гипотез) H1, H2, …, Hn, причем , то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

P(A) = P(H1)PH1(A) + P(H2)PH2(A) + … + P(Hn)PHn(A)

или

P(A) = , (10)

где P(Hi) – вероятность гипотезы Hi, PHi(A) – условная вероятность события А при осуществлении гипотезы Hi. Если событие А произошло, то можно вычислить условную вероятность того, что с событием А осуществлялась гипотеза Hi.

PA(Hi) = , (11)

где Р(А) – полная вероятность события А. Полученную формулу называют формулой Бейеса. С помощью формулы Бейеса можно после испытания уточнить вероятность появления события (гипотезы) Hi.

Решим задачи с использованием приведенных формул.

4.1 Задача. В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй наудачу достали один шар.

а) Какова вероятность того, что этот шар белый?

б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены два белых шара?

Решение. а) Введем обозначения: А – шар, извлеченный из второй урны, белый; гипотезы H1 – из первой урны во вторую переложено 2 белых шара, Н2 – переложены 2 разноцветных шара, Н3 – переложены 2 черных шара. Тогда

P(A) = P(H1)PH1(A) + P(H2)PH2(A) + P(H3)PH3(A). (*)

Вероятности гипотез Hi и условные вероятности PHi(A) (i = 1, 2, 3) вычисляем по формуле (1):

Р(Н1) = , Р(Н2) = , Р(Н3) = ,

РН1(А) = , РН2(А) = , РН3(А) = .

Полученные результаты подставим в формулу (*):

Р(А) = .

б) Вероятность РН1(А) находим по формуле (11):

РА(Н1) = .

4.2 Задача. Вероятность попасть в самолет равна 0,4, а вероятность его сбить равна 0,1. Найти вероятность того, что при попадании в самолет он будет сбит.

Решение. Пусть событие А – попадание в самолет; гипотезы Н1 – самолет будет сбит, Н2 – самолет не будет сбит. Тогда по условию Р(А) = 0,4; Р(Н1) = 0,1. Очевидно, что РН1(А) = 1. Воспользовавшись формулой (11), имеем

РА(Н1) = .

Решите самостоятельно следующие задачи:

4.3 В студенческом стройотряде 2 бригады первокурсников и 1 – второкурсников. В каждой бригаде первокурсников 5 юношей и 3 девушки, а в бригаде второкурсников 4 юношей и 4 девушки. По жеребьевке из отряда выбрали одну из бригад и из нее одного человека для поездки в город. а) Какова вероятность того, что выбран юноша? б) Выбранный человек оказался юношей. Какова вероятность того, что он первокурсник? (а) 7/12; б) 5/7).

4.4 60 % учащихся в школе – девочки, 80 % девочек и 75 % мальчиков имеют билеты в театр. В учительскую принесли кем-то потерянный билет. Какова вероятность того, что этот билет принадлежал девочке? Мальчику? (8/13; 5/13).

4.5 На некоторой фабрике машина А производит 40% всей продукции, а машина В – 60%. В среднем 9 единиц из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А, оказывается браком, а у машины В – брак 2 единицы из 500. Некоторая единица продукции, выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена на машине В? (0,6; 0,4).

4.6 4 стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятности попадания для данных стрелков равны 0,4; 0,6; 0,7; 0,8. После стрельбы в мишени обнаружены 3 пробоины. Найдите вероятность того, что промахнулся четвертый стрелок. ().

4.7 Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок не попал в мишень. К какой группе вероятнее всего принадлежит этот стрелок? 4.8 Один властелин, которому наскучил его звездочет со своими ложными предсказаниями, решил казнить его. Однако, будучи добрым повелителем, он решил дать звездочету последний шанс. Ему велено распределить по 2 урнам 4 шара: 2 белых и 2 черных. Палач выберет наугад одну из урн и из нее вытащит один шар. Если шар будет черным, то звездочета казнят, в противном случае его жизнь будет спасена. Каким образом звездочет должен разместить шары в урнах, чтобы обеспечить себе максимальную вероятность быть спасенным?

4.9 На рисунке 1 изображена схема дорог. Туристы вышли из пункта О, выбирая наугад на разветвлении дорог один из возможных путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт А? (67/120).

 

Рис.1

4.10 Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (считать, что мужчин и женщин одинаковое число) (20/21).

4.11 Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наименьшей, когда он тащит билет первым или последним?

4.12 Допустим, что некоторое насекомое с вероятностью кладет k яиц, а вероятность развития насекомого из яйца равна р. Предполагая взаимную независимость развития яиц, найти вероятность того, что у насекомого будет ровно m потомков. ().

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)