АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Волновые функции, описывающие электрон в атоме водорода

Читайте также:
  1. E) смещение слабо связанных с дефектами электронов или дырок
  2. IV. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ И ИСТОКИ УЧЕНИЯ ОБ АТОМЕ
  3. MS EXCEL. Использование электронного табличного процессора excel: построение графиков. Взаимодействие excel с другими приложениями windows.
  4. MS Excel.Текстовые функции, примеры использования текстовых функций.
  5. QNET комментирует создание платформы электронной коммерции Globby в Сингапуре
  6. V2: Электронные презентации.
  7. V2: Электронные таблицы.
  8. V2: Электронные таблицы. Встроенные функции.
  9. Адресация в электронной таблице
  10. Аккредитация участников аукциона на электронной площадке
  11. Аккредитация участников размещения заказа на электронной площадке
  12. Аудит электронной обработки данных. Контрольная среда.

 

Потенциальная энергия сферически симметрична, поэтому оператор Лапласа в уравнении Шредингера обычно записывается в сферических координатах и при реше­нии (13-1в) требуется использование сферических координат, в которых ψ =ψ(r,θ,φ).

Оператор Лапласа в сферических координатах представляется в виде двух частей – радиальной и угловой.

 

 

Поэтому:

,

где - радиальная функция, - угловая функция,

. (13-2)

Уравнение Шредингера вследствие сферической симметрии распадается на 3 уравнения, каждое из которых зависит только от одной переменной – радиальной r, меридиональной θ и азимутальной φ.

Вол­новая функция ψ должна удовлетворять 3 условиям (см. выше), а также условиюнормировки.

, (13-3)

где модуль ψ2 определяет плотность вероятности найти данную частицу в объеме dV. Поэтому, уравнение (13-3) – есть условие достоверности нахождения частицы во всем пространстве.

Решение для угловой части волновой функции

А). Из условия сферической симметрии, а также условия однозначности волновой функции следует:

являются функциями целочисленного аргумента m который может принимать значения m=0,±1,±2…

Б). Функция Θ - непрерывная и однозначная является специальной функцией – присоединенным полиномом Лежандра. При подстановке этой функции в (13-1б) получается уравнение, которое имеет однозначные и конечные решения только при целочисленных значениях l, которые:

- могут быть отрицательными

- связаны с числом m: m=-l,…,0,… l.

В).Угловая функция Y= ΘФ зависит от l, и при решении уравнения Шредингера дает квантование момента импульса элект­рона в атоме:

(13-4)

и проекцию момента импульса на выделенное направление

. (13-5)

С точки зрения графического решения угловая функция определяет форму электронного облака и его ориентацию.

Решение для радиальной части волновой функции

Радиальная функция R выражается через шаровые функции и полиномы Лагерра. Частное решение имеет вид:

(13-6)

Где

,

А). Подстановка функции R в исходное уравнение (13-1в) дает характеристическое уравнение, из решения которого следует, что при W < 0 (элект­рон «связан» в атоме) энергия электрона определяется выраже­нием:

(13-7)

которое описывает энергетические уровни электрона в водородоподобной системе и является аналогичным выражению в теории Бора:

Таким образом, последовательное решение уравнения Шредингера для электрона в водородоподобной системе приводит к энергетическим уровням типа Бальмера - Ридберга без использования каких-либо постулатов.

б). Найдем вероятность того, что электрон в основном состоянии атома водорода находится на расстоянии r от ядра (n=1,l=0) в интервале расстояний от r до r+dr, т. е. в шаровом слое с объемом dV=4πr2dr. Вероятность обнаружить электрон в элементе объема dV:

Если подставить в эту формулу выражение (13-6), то получим зависимости плотности вероятности обнаружения электрона от расстояния. Максимумы этих зависимостей дают те расстояния rn от ядра атома, на которых электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью (рис.13-1 а и б).

А) Б)

Рис.13-1

 

В частности, при n=1 исследование выражения dw/dr на максимум дает r10. Этот результат является частным случаем более общего вывода: боровские орбиты электрона представляют собой геометрические места точек, в которых электрон может быть обнаружен с наибольшей вероят­ностью.

Например, по теории Бора, вероятность обнаружить электрон в состоянии с n =1 отлична от нуля только для r10.. Согласно же квантовой механике, эта вероятность лишь достигает максимума при r10 , но она отлична от нуля во всем пространстве.

На рис. 13-1 со­поставлены вероятности обнаружить элект­рон на различных расстояниях от ядра по теории Бора и по квантовой механике.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)