Т - Критерий Стьюдента

Критерий t Стьюдента направлен на оценку различий величин средних и двух выборок X и Y, которые распределены по нормальному закону. Одним из главных достоинств критерия является широта его применения. Он может быть использован для сопоставления средних у связных и несвязных выборок, причем выборки могут быть не равны по величине.

Случай несвязных выборок

В общем случае формула для расчета по t - критерию Стьюдента такова: , где

. (1)

Рассмотрим сначала равночисленные выборки. В этом случае , тогда выражение (1) будет вычисляться следующим образом:

В случае неравночисленных выборок , выражение будет вычисляться следующим образом: .

В обоих случаях подсчет числа степеней свободы осуществляется по формуле: , где n ₁ и n ₂ соответственно величины первой и второй выборки.

Понятно, что при численном равенстве выборок .

Рассмотрим пример использования t – критерия Стьюдента для несвязных и неравных по численности выборок.

Пример: Психолог измерял время сложной сенсомоторной реакции выбора (в мс) в контрольной и экспериментальной группах. В экспериментальную группу (X) входили 9 спортсменов высокой квалификации. Контрольной группой (Y) являлись 8 человек, активно не занимающихся спортом. Психолог проверяет гипотезу о том, что средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора у спортсменов выше, чем эта же величина у людей, не занимающихся спортом.

Результаты эксперимента представим в виде табл. 1, в которой произведем ряд необходимых расчетов:

Таблица 1

№	Группы	Отклонение от среднего	Квадраты отклонения
	X	Y
			- 22	- 58
			- 106
				- 17
				- 2
				- 77
			- 36
				- 8
		-	- 56	-		-
Сумма
Среднее

Средние арифметические составляют в экспериментальной группе , в контрольной группе .

Разница по абсолютной величине между средними .

Подсчет выражения дает:

Тогда значение , вычисляемое по формуле , таково: .

Число степеней свободы k =9+8–2=15. По таблице для критических точек распределения Стьюдента для данного числа степеней свободы находим : 2,13 для ; 2,95 для ; 4,07 для .

Строим “ось значимости”:

Таким образом, обнаруженные психологом различия между экспериментальной и контрольной группами значимы более чем на 0,1% уровне, или, иначе говоря, средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в группе спортсменов существенно выше, чем в группе людей, активно не занимающихся спортом.

В терминах статистических гипотез это утверждение звучит так: гипотеза Н ₀ о сходстве отклоняется и на 0,1% уровне значимости принимается альтернативная гипотеза Н ₁ – о различии между экспериментальной и контрольными группами.

Случай связных выборок

В случае связных выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать более простую формулу t – критерия Стьюдента.

Вычисления значений осуществляется по формуле: , где и – разности между соответствующими значениями переменной X и переменной Y, а среднее этих разностей.

В свою очередь вычисляется по следующей формуле: .

Число степеней свободы k определяется по формуле k = n –1.

Рассмотрим пример использования t – критерия Стьюдента для связных и, очевидно, равных по численности выборок.

Пример: Психолог предположил, что в результате научения время решения эквивалентных задач “игры в 5” (т.е. имеющих один и тот же алгоритм решения) будет значимо уменьшаться. Для проверки гипотезы у восьми испытуемых сравнивалось время решения (в минутах) первой и третьей задач. Решение задачи представим в виде табл. 2.

Таблица 2

№ испытуемых	1 задача	2 задача
	4,0	3,0	1,0	1,0
	3,5	3,0	0,5	0,25
	4,1	3,8	0,3	0,09
	5,5	2,1	3,4	11,56
	4,6	4,9	-0,3	0,09
	6,0	5,3	0,7	0,49
	5,1	3,1	2,0	4,00
	4,3	2,7	1,6	2,56
Суммы	37,1	27,9	9,2	20,04

Вначале произведем расчет по формуле: .

Затем применим формулу: .

И, наконец, следует применить формулу . Получим: .

Число степеней свободы: k =8–1=7 и по таблице для критических точек распределения Стьюдента для данного числа степеней свободы находим : 2,37 для ; 3,5 для ; 5,41 для .

Строим “ось значимости”:

Таким образом, на 5% уровне значимости первоначальное предположение подтвердилось, действительно, среднее время решения третьей задачи существенно меньше среднего времени решения первой задачи. В терминах статистических гипотез полученный результат будет звучать так: на 5% уровне гипотеза Н ₀ отклоняется и принимается гипотеза Н₁ – о различиях.

Для применения t – критерия Стьюдента необходимо соблюдать следующие условия:

Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.

Сравниваемые выборки должны быть распределены по нормальному закону.

Поиск по сайту: