АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Поперечные волны в струне

Читайте также:
  1. В направлении, перпендикулярном к поверхностям постоянной фазы волны
  2. Вертикальная поляризация падающей волны
  3. Воздух, волны, звук
  4. Волны E-типа
  5. Волны в линиях передачи
  6. Волны де Бройля
  7. Волны де Бройля
  8. Волны, спирали и круги (циклы) стыда.
  9. ВОЛНЫ, ЧАЙКИ, ВЕТЕР
  10. Волны. Акустические волны
  11. Волны. Волновые свойства света
  12. Выражение для комптоновской длины волны.

Рассмотрим следующую модель. Имеется натянутая струна, закрепленная на концах и ориентированная в равновесном состоянии вдоль оси x двухмерной декартовой системы координат. В начальный момент времени некоторый участок струны имеет малое поперечное (вдоль оси y) отклонение от равновесного положения. Необходимо дать математическое описание динамики струны. Геометрия задачи изображена на рис. 1.1. Здесь, в существенно увеличенном по оси y масштабе, представлен отклоненный участок струны.

 

Рис. 1.1. К выводу уравнения волн в струне

 

На участке струны рассмотрим две близко расположенные точки М и М’, горизонтальные координаты которых разнесены на малое расстояние Δx. Проанализируем вертикальное движение участка струны ММ’, массу которого обозначим через m. Вертикальное ускорение этого участка обусловлено действием вертикальной силы. Если струна растянута с силой Т, в любой точке струны, действующей по касательной к струне, то, как можно видеть из рисунка, результирующая вертикальная сила равна разности y -проекций сил, приложенных к точкам М и М’. Поскольку модуль силы натяжения вдоль всей струны постоянен, действующая вертикальная составляющая силы натяжения может быть представлена в виде:

. (1.1)

 

Кроме того, учтем силу трения, действующую на элемент струны. Будем считать, что сопротивление трения пропорционально длине участка, пропорционально скорости и направлено против скорости. Если коэффициент пропорциональности равен a, то вертикальная сила трения будет записана следующим образом:

. (1.2)

Введем величину линейной плотности струны – массу, отнесенную к единице длины .

Уравнение вертикального движения участка (второй закон Ньютона) струны после элементарных преобразований можно записать в форме:

 

. (1.3)

 

Теперь воспользуемся тем, что отклонения струны от равновесного положения малы. При этом углы α и α’ также малы, а для малых углов

,¶ (1.4)

– по определению тангенс угла наклона касательной к кривой равен производной функции. Тогда уравнение (1.3) можно записать в виде:

 

(1.5)

 

Разность в скобках в первом слагаемом правой части (1.5) есть не что иное, как приращение производной при переходе от точки М к точке М’. Переходя к пределу Δx → 0, в этом слагаемом будем иметь вторую производную от y по x. Таким образом:

 

. (1.6)

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)