Практическое осуществление вейвлет-преобразований

Изученные «геометрическим способом», в виде обобщенного ряда Фурье, вейвлет-преобразования позволяют понять идею и наглядно представить весь процесс анализа (декомпозиции, разложения) и синтеза сигналов. Временными функциями-вейвлетами можно пользоваться скорее для демонстрации сущности вейвлет-декомпозиции и реставрации сигналов, чем для практической работы по обработке и представлению реальных сигналов. Реальные действия в большей степени базируется на особой трактовке вейвлет-преобразований в частотной области, что позволяет плодотворно использовать хорошо разработанные алгоритмы традиционных спектральных методов, давно известный аппарат частотной фильтрации и методы быстрого быстрых преобразований, подобных быстрому преобразованию Фурье.

Рассмотрим, вначале, частотный подход чисто умозрительно и без строгих доказательств.

В электрических цепях, как мы отмечали, осуществляется преобразование сигналов. Сигнал на выходе цепи определяется комплексным коэффициентом передачи или импульсной характеристикой электрической цепи.

В первом случае, если сигнал на входе u_ВХ(t) задан своей спектральной плотностью , то, исходя из спектрального метода, можно показать, что спектральная плотность сигнала на выходе цепи определяется операцией умножения на комплексный коэффициент передачи

(4.51)

Мы говорили о том, что в зависимости от вида АЧХ цепь имеет область частот, в пределах которой цепь пропускает сигналы с минимальным ослаблением и область частот с противоположными свойствами. В зависимости от взаимного расположения этих областей мы различали фильтры низких частот, фильтры верхних частот и прочее.

Каждый ортогональный вейвлет, как временная функция, вполне очевидно, имеет свою спектральную функцию . Было показано в литературе, что если , то вейвлет можно представить в виде реализации двух фильтров – низкочастотного, с комплексным коэффициентом передачи , и согласованного с ним высокочастотного . В соответствии с этим область действия вейвлетов может быть разбита на две составляющие — низкочастотную и высокочастотную. Граничную частоту этих фильтров удобно взять равной половине общей полосы спектра сигнала. Пропуская сигнал через оба фильтра одновременно можно всегда разложить сигнал на низкочастотную и высокочастотную составляющие.

(4.52)

Фильтр Lo дает на выходе частотный образ для аппроксимации (грубого приближения) сигнала, а фильтр Hi — для его детализации.

В теории доказывается, что выходной сигнал можно представить также в виде так называемой свертки двух функций – входного временного сигнала и импульсной характеристики цепи (по сути, обратного преобразования Фурье от произведения комплексного коэффициента передачи на спектральную функцию). Поэтому фильтры можно характеризовать, помимо комплексного коэффициента передачи, также коэффициентами импульсной характеристики.

Пожалуй, главным выводом из теории вейвлет-преобразований является вывод о соответствии вейвлет-коэффициентов коэффициентам импульсной характеристики этих фильтров. Другими словами, коэффициенты импульсной характеристики фильтров Hi и Lo есть детализирующие коэффициенты вейвлет-декомпозиции сигнала и их коэффициенты аппроксимации.

К примеру, можно говорить о том, что низкочастотный фильтр Lo, построенный на основе вейвлета Хаара, из сигнала производит последовательность средних арифметических, сглаживая колебания. Высокочастотный фильтр Hi, построенный на основе вейвлета Хаара, из последовательности формирует сигнал, который имеет смысл половины разности между соседними членами (аналог половины первой конечно-разностной производной). Новый, выходной сигнал отражает колебания последовательности .

По предложенной выше схеме можно построить также фильтры восстановления сигнала и с их помощью осуществить обратное вейвлет - преобразование.

Итак, можно даже не понимать природы вейвлетов, но важно знать, что каждому ортогональному вейвлету соответствует в общем случае четыре фильтра:

1. Низкочастотный фильтр разложения сигнала;

2. Высокочастотный фильтр разложения сигнала;

3. Низкочастотный фильтр восстановления сигнала;

4. Высокочастотный фильтр восстановления сигнала.

На рис.4.17 показаны четыре вейвлет-фильтра на основе биортогонального вейвлета BIOR3.5.

Рис. 4.17. Вейвлет-фильтры на основе биортогонального вейвлета BIOR3.5.

Поскольку фильтры передают только половину всех частотных компонент сигнала, то не попавшие в полосу прозрачности компоненты могут быть безболезненно удалены. По аналогии с казней каждого десятого в провинившихся войсковых подразделениях Древнего Рима, эта операция получила название «децимация».В количественном отношении ей обычно придается более общий смысл, не связанный с числом 10. Используется децимация вдвое, которая обозначается как ↓2, и означает удаление половины отсчетов. При этом, если просто сложить полученные на выходах фильтров сигналы, то получится исходный сигнал, т. е. будет иметь место полная реконструкция сигнала на ее начальном уровне.

Однако Lo фильтр можно, в свою очередь, разложить на два фильтра и снова подвергнуть спектры этих новых фильтров операции децимации. Это означает изменение уровня реконструкции, которое можно представить деревом реконструкции (что будет сделано позднее).

Таким образом, может быть сформирована система вейвлет-фильтров, реализующих операцию декомпозиции сигнала того или иного уровня.

Операция последовательной разбивки Lo фильтров и постепенного огрубления сигнала была предложена Малла и известна как алгоритм Малла (в его французской фамилии Mallat буква «t» не читается).

Подобные операции, в конце концов, обеспечивают существенное сокращение количества соответствующих обрабатываемых компонентов сигнала, что лежит в основе приближенного представления сигнала на разных уровнях декомпозиции сигнала. Такое представление позволяет реализовать операции сжатия (компрессии) сигналов и их очистки от шума.

Возникает законный вопрос, почему именно низкочастотный фильтр удостоен операции деления? Можно сказать, что это следствие устоявшейся практики применения сигналов — основные частотные компоненты их расположены обычно в низкочастотной области спектра. Считается, что именно она несет больше информации, чем высокочастотная (уточняющая) область. В цифровых сигналах такое предположение выполняется не всегда.

При обычном алгоритме Мала на каждом шаге «отрезается» половина низкочастотной части диапазона сигнала. Р. Койфман и М. Викерхаузер предложили усовершенствованный алгоритм Маала. При этом осуществляется деление полос как низкочастотных, так и высокочастотных фильтров. Функции, порождающие необходимые для этого базисы получили название вейвлет-пакетов.

Вейвлет анализ сигнала обычно производится по ранее изложенной схеме многократно (говорят - осуществляется многоуровневый анализ). Берем сигнал u(t) = и применяем к нему низкочастотный фильтр разложения с децимацией для получения сглаженной составляющей затем применяем высокочастотный фильтр разложения с децимацией для получения деталей которые мы потеряли при сглаживании.

Будем называть коэффициентами аппроксимации первого уровня разложения и обозначать их . Массив будем называть детализирующими коэффициентами и обозначать .

Далее процедура разложения применяется к набору коэффициентов и мы получаем коэффициенты второго уровня разложения и . Заметим, что после каждого шага число аппроксимирующих коэффициентов А и отдельно детализирующих уменьшается в два раза. Повторяя процедуру разложений, необходимое число раз μ, мы получаем вместо сигнала серию коэффициентов .

Схема разложения сигнала может быть изображена следующим образом, как показано на рис.4.18:

Рис. 4.18. Разложение сигнала на аппроксимирующие и детализирующие коэффициенты

В результате мы получим полный набор аппроксимирующих и детализирующих коэффициентов, вплоть до уровня декомпозиции μ+1. Это и есть вейвлет-декомпозиция сигнала.

По этому набору коэффициентов мы можем построить вейвлет-спектрограмму сигнала, оценить его особенности. Кроме того, полученные коэффициенты разных уровней можно также специальным образом обработать. После изменения коэффициентов разложения сигнал можно восстановить в обратном порядке путем использования фильтров восстановления и получить его новые свойства.

Пример разложения по аппроксимирующим и детализирующим коэффициентам Хаара и Добеши 4 сигнала в виде функции синуса показан на рис. 4.19.

На рис. 4.20 показано разложение другого сигнала («лестницы») с определением коэффициентов аппроксимации и детализирующих коэффициентов для вейвлетов Хаара и Добеши 4.

При наличии аппроксимирующих и детализирующих коэффициентов можно выполнить восстановление сигнала. В общем случае, каждый уровень восстановления (реконструкции) сигнала определяется по правилу, наглядно представленному ниже

Рис. 4.19. Разложение по аппроксимирующим и детализирующим коэффициентам Хаара и Добеши 4 сигнала в виде функции синуса

Рис. 4.20. Разложение по аппроксимирующим и детализирующим коэффициентам Хаара и Добеши 4 сигнала в виде «лестницы»

На рис. 4.22 показан результат проведения обратного вейвлет-преобразования ранее разложенного сигнала «лестница» с использованием вейвлета Добеши 4. В нижнем подокне построены одновременно графики исходного и восстановленного сигнала и определена относительная величина их различий.

Рис. 4.22. Коэффициенты и графики исходного и восстановленного сигнала «лестница»

Как свидетельствует графики и величина погрешности результат поразителен. Погрешность восстановления сигнала по аппроксимирующим и детализирующим коэффициентам с помощью обратного вейвлет – преобразования ничтожно мала и составляет примерно 9х10^-12. Это близко к точности машинных расчетов. Разделить слившиеся графики невозможно, хотя мы и предприняли попытку сместить один из сигналов на величину 0.1 вниз и по - разному их маркировать.

Полученный результат обусловлен тем, что выбранный тип вейвлета и использованный сигнал теоретически обеспечивают точное восстановление последнего или, как говорят, полную реконструкцию сигнала.

Мы уже отмечали, что в реальных условиях при ограничении числа гармоник точное восстановление сигнала с разрывом производной при использовании прямого и обратного преобразования Фурье невозможно в принципе. Последний пример показывает, что вевлет-преобразование способно обеспечить точную реконструкцию сигнала после его прямого и обратного преобразований. Это безусловно является огромным принципиальным преимуществом вейвлет-технологии обработки сигналов.

В вейвлет-преобразовании после первоначального разложения сигнала на грубую (низкочастотную) и детализирующую (высокочастотную) компоненты мы оставляем высокочастотную часть в покое и продолжаем раскладывать низкочастотную часть. Существует, кроме этого, и так называемое пакетное вейвлет-преобразование, в котором раскладывают и высокочастотную часть также на низкочастотную и высокочастотную компоненты. Оно способствует лучшей частотной локализации сигнала.

Схематически вейвлет-пакетное (wavelet-packets) разложение сигнала (splitting-расщепление) изображают графически в виде схемы, обычно именуемой «деревом» разложения (в левом окне рис. 4.23).

На вершине этого дерева – исходный сигнал, а ниже – его пакетные вейвлет коэффициенты. При разложении данных некоторого узла ниже слева находятся аппроксимирующие коэффициенты, справа – детализирующие. Поэтому все ветви влево указывают на аппроксимирующие коэффициенты, а правые ветви идут к детализирующим коэффициентам предыдущего узла.

Таким образом, появляется гораздо большие возможности выбора базиса для разложения – от минимального вейвлет-разложения (эта часть коэффициентов расположена слева оси симметрии) до полного разложения на всех уровнях.

Рис. 4.23. Пакетное разложение сигнала

Преобразование с помощью вейвлет-пакетов является адаптивным вейвлет-преобразованием, поскольку оно легко приспасабливается к особенностям сигнала м может успешно использоваться для компрессии сигналов и их очисти от шумов (подробно см. ниже)

На рис справа расположен график коэффициента в одном из узлов дерева. Обычно в MATLAB такой график можно воспроизвести если соответствующий узел активировать мышкой.

Поиск по сайту: